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Uni Nürnberg Jahrestagung GDM Berlin 2007 Mutfried Hartmann Analogisieren… …am Beispiel des Satzes des Pythagoras www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM.

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Präsentation zum Thema: "Uni Nürnberg Jahrestagung GDM Berlin 2007 Mutfried Hartmann Analogisieren… …am Beispiel des Satzes des Pythagoras www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM."—  Präsentation transkript:

1 Uni Nürnberg Jahrestagung GDM Berlin 2007 Mutfried Hartmann Analogisieren… …am Beispiel des Satzes des Pythagoras

2 Uni Nürnberg Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

3 Uni Nürnberg Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

4 Uni Nürnberg Was ist Analogie? „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967) Was ist Analogisieren? Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.

5 Uni Nürnberg Kurzer Überblick Heuristik –Archimedes, Pappos –Descartes, Leibniz Mathematikunterricht (Polya 1949) Zentrales Lernziel (Winter 1972) Verallgemeinerung (Deschauer 1999) Kreative Begriffsbildung (Weth 2000) Variation (Schupp 2002) Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003) Von Ebene zum Raum –Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003) –Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992) Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005) MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006) –Computereinsatz (Schumann)

6 Uni Nürnberg Satz von Pappos

7 Uni Nürnberg Pythagoras in Vierecken a² + c² = b² + d² a b c d a² - c² = d² - b² a b c d

8 Uni Nürnberg Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

9 Uni Nürnberg Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

10 Uni Nürnberg Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

11 Uni Nürnberg Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks DreiecksprismaFaulhaber-Tetraeder Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

12 Uni Nürnberg Dreiecksprisma Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma

13 Uni Nürnberg Faulhaber-Tetraeder Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

14 Uni Nürnberg Faulhaber-Tetraeder Johannes Faulhaber (1622) Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

15 Uni Nürnberg Bubeck-Tetraeder (1992) Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder

16 Uni Nürnberg Schiefes Tetraeder Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder

17 Uni Nürnberg Schiefes Tetraeder (Beweis) Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder C² = A² + C‘²D² = A² + D‘² B² = A² + C‘² + D‘² Faulhaber Dreiecksprisma C² + D² = 2A² + C‘² + D‘² A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²

18 Uni Nürnberg Auf Kantenlängen bezogene Analogien Pythagoras im Raum / Kanten a‘ ² a ² + b = ² b‘ ² c ² c‘ + ² = + ca ² a‘ ² -= b ² b‘ ² c‘ =- ²² - a‘ab b‘ -=+ ²²²² b cc‘ ²² - ² = ² - a‘acc‘ ²² + ² + ² =

19 Uni Nürnberg Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

20 Uni Nürnberg Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

21 Uni Nürnberg Wie findet man solche Zerlegungen? Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

22 Uni Nürnberg Analyse des Analogisierungsprozesses Zerlegung der Katheten- quadrate SonderfallAllgemeinfall Schnittführung Analoge Teilstücke Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit Übertragung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

23 Uni Nürnberg 2. Beispiel Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

24 Uni Nürnberg Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung 2. Diagonale 1. Diagonale Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

25 Uni Nürnberg Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung C c d C c d Verlängerung von Seite d Parallele zu c durch C Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

26 Uni Nürnberg Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung C c C c Parallele zu d durch D Parallele zu c durch C d D d D Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

27 Uni Nürnberg Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung M c d M c d Parallele zu d durch M Parallele zu c durch M Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

28 Uni Nürnberg Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung B C E D c d B C E D Parallele zu d durch B und D Parallele zu c durch C und E c d Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

29 Uni Nürnberg Analyse des Analogisierungsprozesses Zerlegung der Katheten- quadrate SonderfallAllgemeinfall Schnittführung Analoge Teilstücke Zerlegung des Hypotenusen- quadrats Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit Abbildung der Teile unvollständige Lösung endgültige Lösung Probieren Übertragung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

30 Uni Nürnberg Analogisierung der Teileabbildung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Perigal Ihre Lösung in der Hausaufgabe

31 Uni Nürnberg Beispiele von Studenten Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

32 Uni Nürnberg Bedeutung für den Unterricht Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar Präzises verbales Beschreiben wird geübt Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt Beweisbedürfnis wird geweckt Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

33 Uni Nürnberg Forderungen Analogisieren sollte –als Methode im Unterricht explizit thematisiert werden –in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden

34 Uni Nürnberg Jahrestagung GDM Berlin 2007 Mutfried Hartmann

35 Uni Nürnberg Wie findet man solche Zerlegungen? Schnitt Lage 2. Säule: Vernetzung – Entdecken durch Analogisieren


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