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Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen.

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Präsentation zum Thema: "Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen."—  Präsentation transkript:

1 Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen

2 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Der Euklidische Raum Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit bezeichnet. Ein Vektor in diesem Raum ist ein n-Tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen:

3 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Spezielle Vektoren Ein Vektor kann sowohl als Punkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete Linie (vom Ursprung zu diesem Punkt), also als Richtungsvektor, interpretiert werden.

4 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Anmerkungen zum Euklidischen Raum Der Euklidische Raum ist die Grundlage der klassischen euklidischen Geometrie (Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie), erstmals systematisch beschrieben in den Elementen des Euklid (365v.Chr. – 300 v.Chr.). Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie (Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze) und insbesondere auch das Euklidische Parallelenaxiom: „Liegt ein Punkt P nicht auf einer Geraden g, dann gibt es zu g genau eine Parallele p durch den Punkt P.“

5 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Nichteuklidische Räume Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt. Galileo Galilei ( ) Erst im 19. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die elliptische Geometrie oder die hyperbolische Geometrie systematisch zu beschreiben, in denen das euklidische Parallelenaxiom nicht gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie. Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie.

6 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Operatoren auf Vektoren im Euklidischen Raum  Addition:  Multiplikation mit einem Skalar :

7 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Rechenregeln für Vektoroperationen im Euklidischen Raum

8 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Betrag eines Vektors (engl. norm)

9 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Skalarprodukt im Euklidischen Raum (inneres Produkt, Punktprodukt) Im Euklidischen Raum ist ein Skalarprodukt definiert: Es gelten folgende Regeln: Die letzte Regel sagt: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal, engl. perpendicular) wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

10 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Orthogonale Projektion eines Vektors Die orthogonale Projektion w eines Vektors u auf einen Vektor v ist gleich Eine solche Projektion liefert eine orthogonale Dekomposition von u in w und (u-w), d.h.

11 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Geometrische Interpretation des Skalarproduktes u v  u v  u-w w Der Vektor u wird orthogonal auf den Vektor v projiziert.

12 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u,v im R 3 ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: v û  w

13 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Eigenschaften des Vektorprodukts

14 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basis eines Vektorraumes Die Vektorensind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig. Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine Basis des durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor v dieses Raumes kann dann als Linear- kombination der Basisvektoren geschrieben werden:

15 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Spezielle Basen Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt heißt orthogonal. Gilt zusätzlich dann heißt diese Basis orthonormal.

16 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Weitere Regeln Für eine orthonormale Basis und einen beliebigen Vektor p=(p 0,p 1,...,p n-1 ) gilt: Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis e, bei welcher der i-te Basisvektor e i in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist – im dreidimensionalen:

17 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Matrizen Unter einer Matrix vom Typ (m,n) oder mxn-Matrix versteht man ein rechteckiges Schema von Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente m jk reelle (oder auch komplexe) Zahlen. M heißt quadratisch, wenn m=n gilt. Vektoren sind spezielle Matrizen vom Typ (m,1), genannt Spaltenvektoren oder (1,n), genannt Zeilenvektoren.

18 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Spezielle Matrizen

19 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Transponierte(transpose) adjungierte und adjunkte (adjoint) Matrizen

20 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Weitere spezielle Matrizen Sei M eine (nxn)-Matrix. M* bezeichne die adjungierte Matrix (für reelle Matrizen gilt M T =M*): (i) A heißt genau dann selbstadjungiert, wenn M = M* (ii) A heißt genau dann schiefadjungiert, wenn M = -M* (iii) A heißt genau dann unitär (orthogonal), wenn MM* = M*M = E (iv) A heißt genau dann normal, wenn MM* = M*N Die Matrizen (i)-(iii) sind normal.

21 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Eigenschaften unitärer (orthogonaler) Matrizen Wenn M eine unitäre (orthogonale) Matrix ist, dann gilt:

22 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Orthonormale und orthogonale Matrizen

23 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Operationen auf Matrizen Addition Für zwei (mxn)-Matrizen M und N gilt Rechenregeln:

24 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Operationen auf Matrizen Multiplikation Skalar-Matrix Ein Skalar a und eine Matrix M können multipliziert werden, so daß das Produkt Rechenregeln:

25 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Operationen auf Matrizen Matrix-Matrix Für die (pxq)-Matrix M und die (qxr)-Matrix N (also für verkettete Matrizen) ist das Produktmatrix T eine (pxr)-Matrix mit Rechenregeln:

26 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Determinanten einer Matrix Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert:

27 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Spur (Trace) einer Matrix Unter der Spur tr M der (nxn)-Matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente:

28 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Weitere Eigenschaften der Determinante Für (3x3)-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spalten- vektoren mit Eine Basis ist genau dann rechtshändig (right-handed), wenn ihre Determinante positiv ist Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig (left-handed)

29 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Rechenregeln für Determinanten

30 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Inverse einer Matrix M -1 existiert nur für quadratische Matrizen M, deren Determinante ist. Dann gilt M -1 M = M M -1 = E Rechenregeln

31 © Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker SS Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren


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