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17/06/20151 Das Konzept unscharfer Mengen Basisdefinitionen und Darstellungsformen.

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Präsentation zum Thema: "17/06/20151 Das Konzept unscharfer Mengen Basisdefinitionen und Darstellungsformen."—  Präsentation transkript:

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2 17/06/20151 Das Konzept unscharfer Mengen Basisdefinitionen und Darstellungsformen

3 17/06/20152 Das Konzept der unscharfen Mengen 1.Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) 2.Charakterisierung unscharfer Mengen 3.Grundlegende Mengenrelationen 4.Typen unscharfer Mengen

4 17/06/ Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) Definition : (Menge) „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten Wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“ [Cantor 1966] bestimmt – es ist eindeutig entscheidbar ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. Wohlunterschieden – es ist eindeutig entscheidbar, ob zwei beliebige Elemente gleich oder ungleich sind.

5 17/06/20154 Beschreibung von Mengen aufzählende Form A = { x 1,..., x n } beschreibende Form in ihr werden die Elemente über gemeinsame Eigenschaften charakterisiert. A = { x | x  Ω und B(x) } Ω – Grundmenge (z.B. die Menge aller Computer) x - Variable B(x) – Bedingungen Funktionen (Indikatorfunktion) f A : Ω  { 0, 1 }  a  Ω gilt:f(a) := 1, falls a  A f(a) := 0, falls a  A

6 17/06/20155 Beispiel: A = { x | x  Ω, 16 <= RAM(x) <= 64 } Ω - Ist die Menge aller Computer

7 17/06/20156 Definition : (Kardinalität) Die Kardinalität einer Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente. (geschrieben card(A) oder |A|) Definition : (A = B) A = B  (  x  A : x  B) und (  x  B : x  A ) Definition : (A ≠ B) A ≠ B  (  x  A : x  B) oder (  x  B : x  A ) Definition: (Potenz Mengen) P(A) = { x | x  A }

8 17/06/20157 Definition: (unechte Teilmenge) A  B  (  x  A : x  B) Definition: (echte Teilmenge) A  B  A  B und A ≠ B Definition: (Vereinigungsmenge) A  B = { x | x  A oder x  B } Definition: (Schnittmenge) A  B = {x | x  A und x  B } Definition: (Disjunkte Mengen) dis(A, B)  A  B =  Definition: (Differenzmenge) A \ B = { x | x  A und x  B }

9 17/06/20158 Definition: (Komplementmenge)  A = { x | x  Ω und x  A} Definition: (Kartesisches Produkt) A 1 x A 2 x... x A n = { (x 1, x 2,..., x n ) | x 1  A 1,..., x n  A n } Definition: (Konvexe Mengen) Eine Menge A   n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte P 1, P 2  A auch alle Punkte der Verbindungssträcke zwischen P 1 und P 2 zu A gehöhren.

10 17/06/20159 Gesetzte der klassischen Mengenalgebra

11 17/06/ Das Konzept der unscharfen Mengen 1.Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) 2.Charakterisierung unscharfer Mengen 3.Grundlegende Mengenrelationen 4.Typen unscharfer Mengen

12 17/06/ Charakterisierung unscharfer Mengen Der Mengenbegriff setzt voraus das eindeutig bestimmt werden kann ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht. [Cantor] In der Realität existiert nicht eine derart präzise Zugehörigkeit. z.B. „die Schönheit eines Baumes “ oder „kleine und große Menschen“ [Zadeh]  die scharfe Unterscheidung an den Randbereichen „aufzuweichen“ und „abzustufen“ Die Bildmenge von f wird erweitert: von { 0, 1 } auf [ 0, 1 ]

13 17/06/ Beispiel: (Stufenfunktion vs. stetige Funktion ) „starkes Fieber“ soll in einer Zahlen Menge beschrieben werden. Problem: was soll der Grenzwert sein? (z.B °C)

14 17/06/ Definition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (die Bildmenge ist das reelles Einheitsintervall) μ : Ω  [ 0, 1 ] μ – Zugehörigkeitsfunktion / membership function μ(x) – Zugehörigkeitsgrade / grades of membership  (Ω)- die Menge aller bildbaren Fuzzy-Mengen über Ω Fuzzy-Einermenge / fuzzy singleton – eine Fuzzy-Menge die genau ein Element mit einem zugehörigkeitsgrad (>0) enthält. gewöhnliche Mengen sind spezielle Fuzzy-Mengen

15 17/06/ Parametrische Standartfunktionen Fuzzy-Mengen werden über ihre Zugehörigkeitsfunktion beschrieben. –Keine Einschränkung über die Grundmenge –Keine Einschränkung über den Funktionsverlauf Beschreibung einer Funktion : –Angabe einer Funktionsgleichung –Explizite Auflistung von Argument-Werte-Paaren –parametrische Funktionen

16 17/06/ s-Funktion s(x, ,  )  - steht für den höchsten Wert mit μ(  ) = 0  - steht für den niedrigsten Wert mit μ(  ) = 1 z-Funktionz(x, ,  ) = 1 – s(x, ,  ) Spiegelung an der Gerden μ(x) = 0.5 s/z-Funktions/z(x, , , ,  ) Aneinanderreihung von Teilabschnitten einer s- und einer z- Funktion So erzielt man einen „sanften“ Übergang in die kritischen Zonen

17 17/06/ Beispiel:

18 17/06/ Derartige Genauigkeit ist für Fuzzy-Mengen nicht nötig In der Praxis werden trapezförmige Funktionsgrafen verwendet (oder dreiecksförmige Funktionsgraphen) f Trapez (x, m1, m2, ,  ) (m1, m2) - gibt den Bereich an in dem μ(x) = 1 ist  - ist die linke Schwankungsbreite (monoton steigend)  - ist die rechte Schwankungsbreite (monoton fallend)

19 17/06/ Beispiel: (Unscharfer Alteresangaben) Drei Kategorien von Alteresangaben –„Jung“, „Alt“, „mittleren Alteres“ Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig –„Geologischen Formationen“ oder „Lebewesen“

20 17/06/ Parametrische Standartfunktionen haben zwei Vorzüge: –Angabe weniger Parameter –Es gibt Effiziente Verrechnungsvorschriften für sie Eine größere Flexibilität erreicht man mit stückweise linearen Zugehörigkeitsfunktionen. –Alle Punkte des Funktionsgraphen werden angegeben.

21 17/06/ Das Konzept der unscharfen Mengen 1.Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) 2.Charakterisierung unscharfer Mengen 3.Grundlegende Mengenrelationen 4.Typen unscharfer Mengen

22 17/06/ Grundlegende Mengenrelationen Anforderung an die Grundlegende Mengenrelationen von Fuzzy- Mengen ist, daß sie äquivalent zu den Definitionen der Klassischen Mengenlehre sein soll. Fuzzy-Menge werden spezifiziert durch ihre Elemente und deren Zugehörigkeitsgraden

23 17/06/ Seien A, B Unscharfe Mengen über Ω Definition : (Gleichheit unscharfer Mengen) A = B   x  Ω : μ A (x) = μ B (x) Für viele Praktische zwecke ist diese Definition zu streng, deshalb werden „weichere“ Vergleichsmaße erlaubt. Definition : (ungleichheit unscharfer Mengen) A ≠ B   x  Ω : μ A (x) ≠ μ B (x) Mengenrelationen

24 17/06/ Definition: (unechte Teilmenge) A  B   x  Ω : μ A (x) < = μ B (x) Definition: (echte Teilmenge)[Bothe] A  B   x  Ω : μ A (x) < μ B (x) Dies ist keine Verallgemeinerung der klassischen Definition Definition: (echte Teilmenge) A  B  A  B und A ≠ B Beispiel:

25 17/06/ Kenngrößen Definition : (Kardinalität) |A| = ∑ μ A (x) x  Ω –Bei gewöhnliche Mengen erhält man die Anzahl der Elemente –Bei unscharfen Mengen werden die Elemente mit deren Gewicht berücksichtigt Definition : (Relative Kardinalität) |A  B| ||A/B|| = : |B| ≠ 0 |B|

26 17/06/ Definition : (Höhe / height) hgt(A) = sup μ A (x) x  Ω –In jeder normalen Fuzzy-Menge gibt es ein Element x mit μ A (x) = 1 –Dies gilt jedoch nicht für alle Fuzzy-Mengen –Maß für den höchsten Zugehörigkeitsgrad Definition : (Normalität) A ist normalisiert  hgt(A) = 1 A heißt subnormal  hgt(A) ≠ 1 Jede subnormale unscharfe Menge A s lässt sich in eine normalisierte unscharfe Menge A n umwandeln. (durch Maßstabstransformationen ihrer Zugehörigkeitsgrade) μ As (x) μ An (x) = : hgt(A s ) ≠ 0 hgt(A s )

27 17/06/ Definition: (Konvexität) Eine unscharfe Menge A ist konvex   x 1, x 2  und  [ 0, 1 ] gilt: μ A ( x 1 + (1- ) x 2 ) <= min{ μ A (x 1 ), μ A (x 2 ) } Sei A eine konvexe unscharfe Menge, dann gilt daß zwischen zwei Elementen x1 und x2 gibt es kein Element x3 mit μ A (x3) <= min{ μ A (x1), μ A (x1) } Beispiel:

28 17/06/ Definition: (Träger / support) supp(A) - der Träger einer unscharfen Menge A über Ω. supp(A) = { x  Ω | μ A (x) > 0 } Definition: (Kern / core) core(A) - der Kern einer unscharfen Menge A über Ω. core(A) = { x  Ω | μ A (x) = 1 } Definition: (  -Schnitt /  -cut) A  - der  -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω.  -Schnitt  Niveaumenge A  = { x  Ω | μ A (x)   } :   [ 0, 1 ]

29 17/06/ Definition: (Scharfe  -Schnitt / strenge  -cut) A >  - der Scharfen  -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω. A >  = {x  Ω | μ A (x) >  } :   [ 0, 1 ] Beispiel:

30 17/06/ Resolutionsidentität Der  -Schnitt ist eine horizontale Sichtweise unscharfer Mengen. Die Beziehung zwischen einer unscharfen Menge und der Gesamtheit ihrer Niveaumengen wird mit dem Begriff Resolutionsidentität beschrieben

31 17/06/ Jede unscharfe Menge bestimmt eindeutig die Gesamtheit ihrer Niveaumengen. und Die Gesamtheit der Niveaumengen bestimmt eindeutig eine unscharfe Mange. 1 A = ∫  A  0 ∫ - Vereinigungsbindung  A – bezeichnetet eine unscharfe Menge, so das gilt: μ  A (x) =  μ A (x) :  x  Ω Die Resolutionsidentität kann sowohl: –über die  -Schnitte –über die strengen  -Schnitte Beschrieben werden

32 17/06/ Durch die Resolutionsidentität lässt sich jede unscharfe Menge als ein System von klassischen Mengen beschreiben  mathematische Verfahren für unscharfe Mengen kann man zurückführen auf schon Definierte mathematische Verfahren für klassische Mengen Beispiel:

33 17/06/ Das Konzept der unscharfen Mengen 1.Grundbegriffe (klassische Mengenlehre) 2.Charakterisierung unscharfer Mengen 3.Grundlegende Mengenrelationen 4.Typen unscharfer Mengen

34 17/06/ Typen unscharfer Mengen Definition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (unscharfe Mengen vom Typ 1l) μ : Ω  [ 0, 1 ] Es wird keine Aussage die Grundmenge gemacht.  Elemente der Grundmenge Ω x können selbst wieder unscharfe Mengen über eine andere Grundmenge Ω y sein. Fuzzy-Mengen dieses Typs heißen: „unscharfe Mengen zweiter Stufe“ Entsprechend werden „Fuzzy-Mengen höher Stufe“ gebildet.

35 17/06/ Die Bildmenge jedoch wird bei Zadehs festgelegt. (das Einheitsintervall) Definition: (L-Fuzzy-Menge) Eine L-Fuzzy-Menge wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  L : L - ist ein Verband z.B. L = [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] oder L = [ 0, 1 ] n Fuzzy-Mengen Typ 1 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen Definition: (unscharfe Mengen vom Typ 2) Eine unscharfe Mengen vom Typ 2 wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  F 1 : F 1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ 1 sind Fuzzy-Mengen Typ 2 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen

36 17/06/ Definition: (unscharfe Mengen vom Typ n) Eine unscharfe Mengen vom Typ n wird charakterisiert durch eine Funktion μ. μ : Ω  F n-1 : F n-1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ n-1 sind. In der weiteren Theorieentwicklung haben Typ n : n>2 keine signifikante Bedeutung erlangt.

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