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Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006. Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter.

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1 Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006

2 Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina Tel Sprechstunde nach Vereinbarung Unscharfe Optimierung

3 1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.) Fuzzy Optimization: Recent Advances Physica-Verlag, Heidelberg, ). H. Bandemer and S. Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester ). H.-J. Zimmermann Fuzzy Set Theory and its Applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ). C.R. Bector, Suresh Chandra Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Literatur

4 Unscharfe Optimierung Überblick Optimierung 1) im Sinne der Mathematik: die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion 2) in der Informatik: die Verbesserung der Effizienz eines Computerprogramms 3) Umgangssprachlich: meist eine Verbesserung eines Vorgangs oder Zustands bzgl. Qualität, Kosten, Geschwindigkeit, Effizienz und Effektivität.

5 Unscharfe Optimierung Überblick Mathematische Optimierung Lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung Konvexe Optimierung Dynamische Optimierung Diskrete Optimierung Parametrische Optimierung Nichtkonvexe Optimierung

6 Unscharfe Optimierung Problembereich Unschärfe bei Optimierungsmodellen

7 Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: X gehört zu den großen Menschen: Jemand, der 1,60 m groß ist, wird mit einer Zugehörigkeit von 0,2 zu den großen Menschen gerechnet. Dagegen wird jemand, der 1,85 m groß ist, mit einer Zugehörigkeit von 0,8 zu den großen Menschen gerechnet. Die Aussage Y ist dick hängt von den Attributen Körpergröße, Körperumfang und Gewicht ab.

8 Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: Die Auffassung über die Daten beeinflusst auch die Werte von Daten. Beispiel: Die Frage ist Wann schließen die Geschäfte? Die Antwort Um 18 Uhr. Das kann bedeuten: 1) alle Geschäfte sind um 18 Uhr zu; 2) einige Geschäfte schließen bereits um 17 Uhr, andere dagegen erst um 20 oder 21 Uhr. Eine entsprechende Zugehörigkeitsverteilung zur Aussage Die Geschäfte sind geschlossen lässt sich dann über die Zeit aufstellen.

9 Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Scharfe Zahl: x =18 Unscharfe Zahl: x = etwa 18

10 Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: Scharfe und unscharfe Regionen (a)scharfe Darstellung; (b) unscharfe Darstellung Unscharfe Region: See Unscharfe Region: Wald

11 Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Modelle: Beispiele: Unscharfer GraphUnscharfe Relation

12 Unscharfe Optimierung Arten der Unschärfe Unschärfe: nichtexakte Bedeutung des Wortes oder mangelnde Information und die fehlende Möglichkeit, einen Begriff exakt beschreiben zu können Abb. Arten der Unsicherheit Wahrscheinlichkeiten für dasmenschliche Komplexität in der Eintreten von Ereignissen Empfindungen Beschreibung des Begriffs

13 Unscharfe Optimierung Quellen der Unschärfe nicht genug Informationen liegen in der augenblicklichen Situation vor Unschärfe das Erfassen und Abbildendes Systems ist subjektiv verschieden

14 Klassische Mengen Unscharfe Optimierung

15 Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe

16 Unscharfe Optimierung Beispiel: (Modellierung unscharfer Begriffe) Unscharfe Begriffe in der Umgangssprache: groß, klein, schnell, reich, schön, warm, kalt, heiß usw. Kontext beachten! Beispiel: Betrachten den unscharfen Begriff klein mit Bezug auf Kosten. Grundmenge: X = {10, 20, 50, 100, 150, 200, 400, 700, 1000}. Kleine Kosten: {(10; 1), (20; 0,97), (50; 0,85), (100; 0,75), (150; 0,7), (200; 0,6), (400; 0,5), (700; 0,25), (1000; 0,1)}.

17 Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Unscharfe Optimierung Beispiel: Abb. A): Menge A - die Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Dann stellt 49,98 EURO noch einen günstigen Preis dar, dagegen würde ein um 3 Cent höherer Preis von 50,01 EURO nicht mehr als günstig angesehen werden. Abb. B): Darstellung der unscharfen Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Die Gleichung ( x ) = 0,7 besagt, dass der Wert x =23 mit dem Zugehörigkeitsgrad =0,7 als günstiger Preis angesehen wird. Abb. A)Abb. B)

18 Unscharfe Mengen Unscharfe Optimierung Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von Grundmenge X abhängig X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder ist X ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen diskrete Darstellung von ZGFparametrische Darstellung von ZGF

19 Unscharfe Mengen Unscharfe Optimierung Operationen

20 Unscharfe Optimierung Unscharfe Modelle Unscharfe Relationen Unscharfe Graphen Klassifizierung der unscharfen Optimierungsprobleme Unscharfe Optimierungsprobleme Modelle mit unscharfen Daten

21 Unscharfe Optimierung Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten Optimierungsmodelle Unscharfe Lineare Optimierungs- modelle Unscharfe Nichtlineare Optimierungs- modelle Unscharfe Dynamische Optimierungs- modelle Unscharfe Diskrete Optimierungs- modelle Unscharfe Parametrische Optimierungs- modelle Unscharfe Entscheidungen Entscheidungen mit mehreren Zielen Entscheidungen mit mehreren Attributen

22 Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen Es gibt zwei Typen von unscharfen Graphen. Definition 1 Beispiel 1

23 Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des ersten Typs Definition 2 Beispiel 2

24 Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger und Nachfolger in unscharfen Graphen

25 Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachfolger in unscharfen Graphen Beispiel

26 Unscharfe Optimierung Beispiel 3 Matrixform der unscharfen Graphen

27 Unscharfe Optimierung Definition 3 Unscharfe Graphen des zweiten Typs

28 Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Definition 4

29 Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Beispiel 4 Beispiel 5

30 Unscharfe Optimierung Transformation der unscharfen Graphen Unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs Unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs gekoppelte Graphen

31 Unscharfe Optimierung Eingangs- und Ausgangsgrad eines Knotens in unscharfen Graphen

32 Unscharfe Optimierung Numerische Charakteristiken der Knoten der unscharfen Graphen

33 Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen

34 Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Beispiel 6

35 Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Beispiel 7

36 Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen

37 Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen Beispiel 8

38 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

39 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

40 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

41 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

42 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

43 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

44 Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Beispiel


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