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Mathematik für BiologInnen WS 05 A.o. Univ.-Prof. DI Dr. M. Hintermüller Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens Universität.

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Präsentation zum Thema: "Mathematik für BiologInnen WS 05 A.o. Univ.-Prof. DI Dr. M. Hintermüller Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens Universität."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik für BiologInnen WS 05 A.o. Univ.-Prof. DI Dr. M. Hintermüller Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens Universität Graz

2 Beobachtungsdaten  Skalentypen Nominale Merkmale Ordinale Merkmale Metrische Merkmale  Arithmetischer Mittelwert, Standardfehler  Gleitende Durchschnitte  Mittlere Lebenserwartung

3 Skalentypen  Nominale Merkmale Empirische Daten: Skalierung vor math. Behandlung notwendig. Einfachste Form: Objekteinteilung in Klassen aufgrund qualitativ versch. Merkmale – Klassifizierung. Nominalmerkmale: Merkmale, deren Ausprägung nur eine begriffliche Unterscheidung zulassen. Nominale Skala: Anordnung als Punkte einer Skala.

4 Skalentypen Einzig mögl. Rechneoperation: Abzählung der Objekte bestimmter Merkmalsprägung Anzahl: Absolute Häufigkeit Bsp.: Die Blutgruppe (AB0-System). Ausprägungen: A,B,AB und 0. Gesamt: N=10000 Personen. A4323 B1415 AB602 03660

5 Skalentypen Block- oder Stabdiagram Relative Häufigkeit: ABAB0

6 Skalentypen  Ordinale Merkmale Zusätzlich zu Nominalmerkmalen ist Ordnung nach einem Kriterium (Größe, Intensität,…) möglich – ordinales Merkmal oder Rangmerkmal. Ordinale Skala. Rangpositionierung mögl. Bsp.: Subjektive Beurteilung einer Therapiewirkung. N=25 Wie ist die Wirksamkeit der Therapie? Wirkung-20+1+2 #Pers.24595

7 Skalentypen Arithmetische Mittelung nicht zulässig, da Addition der Merkmalsausprägung nicht erlaubt! Betrachte mittlere Position in Reihe der Merkmalsausprägungen in ansteigender Größe - Median. Im Bsp.: 13te Reihe mit Ausprägung +1. Bei einer geraden Anzahl an Merkmalsausprägungen: Median = durch 2 geteilte Summe aus den beiden mittleren Elementen in der geordneten Rangreihe.

8 Skalentypen  Metrische Merkmale Messung = Vergleich der Ausprägung mit einer Maßeinheit. Metrische Skala = wiederholtes Auftragen der Maßeinheit. Die damit meßbaren Merkmale werden als metrisch bezeichnet. Z.B.: Zeit, Länge,… Intervallskalen: willkürlicher Nullpunkt (Zeitskala). Verhältnisskalen: absoluter Nullpunkt (Meterskala).

9 Arithm. MW, Standardfehler  Meßreihe von N Werten, die sich durch N voneinander unabhängigen Messungen ergeben haben. Arithmetischer Mittelwert:  Streuung der Meßwerte um den MW:

10 Arithm. MW, Standardfehler  Varianz = mittlere quadrat. Abweichung der Meßwerte vom wahren Wert:  Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung bezeichnet. Interpretation: Mittlerer Fehler der Einzelmessungen.

11 Gleitende Durchschnitte  Glättung von Zeitreihen Zeitreihe: Folge von Beobachtungswerten, die an einem Merkmal X zu aufeinanderfolgenden (oft äqudistanten) Zeitpunkten gewonnen werden.

12 Gleitende Durchschnitte  Glättung mit (2k+1)-gliedrigem Durchschnitt: Für berechne

13 Mittlere Lebenserwartung  Datenmaterial: In einer Gruppe von Individuen, die einem gemeinsamen Ereignis ausgesetzt sind, wird die Zahl der Überlebenden im Laufe der Zeit registriert (z.B. Geburtenkohorte). Aussterben einer Geburtenkohorte von Tsetsefliegen Alter a012345678910 Zahl12011911711510288694731220

14 Mittlere Lebenserwartung  Unterschiedl. Kohortengröße -> Normierung dch. Anfangsgröße (z.B. = 100 oder = 1).  Lebensraten:  Anzahl der Individuen der Kohorte, die im Altersintervall zw. a und a+1 sterben:  Todesrisiko im Alter a: altersspezifische Sterberate

15 Mittlere Lebenserwartung  Annahme: Ein im Altersintervall zw. a und a+1 sterbendes Individuum verlebt im Durchschnitt die halbe Zeiteinheit in diesem Intervall.  Gesamtanzahl an Zeiteinheiten zw. a und a+1:  Die das Alter a erlebenden Individuen verleben in den verbleibenden Zeitintervallen bis zum Aussterben:

16 Mittlere Lebenserwartung  Mittlere Lebenserwartung eines a Zeiteinheiten alten Individuums.

17 Mittlere Lebenserwartung  Kohorten-Sterbetafel a 0100088650 199217 555 297517 464 3958108113371 ……………


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