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Didaktik der Geometrie (9) Vorlesung im Sommersemester 2004 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg.

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1 Didaktik der Geometrie (9) Vorlesung im Sommersemester 2004 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg

2 Themenbereich: Flächeninhalte und Volumina

3 Lehrplan Realschule Kl. 5 M 5.5 Flächenmessung (ca. 12 Std.) Die Schüler vergleichen, schätzen und messen Flächen mithilfe konkret- anschaulicher Verfahren. Die gewonnenen Erkenntnisse wenden sie bei der Lösung von Sachproblemen an. Vergleich von Flächen mit ungenormten und genormten Einheiten Messen von Flächen; Umrechnen von Flächeneinheiten Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Oberfläche von Quader und Würfel Sachaufgaben M 5.6 Raummessung (ca. 12 Std.) Aufbauend auf den Überlegungen zur Flächenmessung befassen sich die Schüler mit Fragen der Raummessung und bestimmen die Rauminhalte einfacher geometrischer Körper. Vergleich von Rauminhalten mit ungenormten und genormten Einheiten Messen von Rauminhalten; Umrechnung von Raumeinheiten (mm 3 bis m 3, ml, cl, l, hl) Volumen von Würfel und Quader Sachaufgaben

4 Lehrplan Gymnasium Kl. 5

5 Lehrplan Gymnasium Kl. 6

6

7 Flächeninhalte Grundidee Auslegen mit Einheitsflächen Gleichheit Zwei Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie lückenlos und ohne Überschneidungen mit der gleichen Anzahl von Einheitsflächen ausgelegt werden können.

8 Propädeutik Parkettieren der Ebene Nussknacker 2. S. 22 (Stuttgart: Klett)

9 Propädeutik Auslegen von Flächen mit verschiedenen Einheitsflächen Welt der Zahl 4. S. 73 (Hannover: Schroedel)

10 Flächenvergleich Direkter Vergleich Indirekter Vergleich Messen mit Einheitsquadraten

11 Flächenvergleich Mathematik für Realschulen 5. S. 168 (Frankfurt: Diesterweg)

12 Flächen- messung Mathematik für Realschulen 5. S. 169 (Frankfurt: Diesterweg)

13 Flächenmessung Mathematik für Realschulen 5. S. 170 (Frankfurt: Diesterweg) Wichtig ist es, die Längen in Meter explizit zu schreiben. 1m 2 entsteht als Maß der Fläche eines Einheitsquadrats mit der Seitenlänge 1m.

14 Flächenmaße Gebräuchliche Maßeinheiten: 1mm 2 Seitenlänge des Quadrats: 1 mm 1cm 2 Seitenlänge des Quadrats : 1 cm 1dm 2 Seitenlänge des Quadrats : 1 dm 1m 2 Seitenlänge des Quadrats : 1 m 1aSeitenlänge des Quadrats : 10 m 1haSeitenlänge des Quadrats : 100 m 1km 2 Seitenlänge des Quadrats : 1 km

15 Sachaufgaben Mathematik für Realschulen 5. S. 173 (Frankfurt: Diesterweg)

16 Umfang und Flächeninhalt Welt der Zahl 4. S. 75 (Hannover: Schroedel)

17 Umfang und Flächeninhalt Experimente: Welchen Umfang kann ein Rechteck mit 24m 2 Flächeninhalt haben? Welchen Flächeninhalt kann ein Rechteck mit 12m Umfang haben? Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

18 Oberfläche von Körpern Gegeben ist ein Quader mit den Seitenlängen a, b und c. Die Oberfläche des Quaders ist O = 2ab + 2bc + 2ac. Spezialfall: Die Oberfläche des Würfels mit der Kantenlänge a ist O = 6a 2.

19 Oberfläche von Körpern Mathematik für Realschulen 5. S. 209 (Frankfurt: Diesterweg)

20 Oberfläche von Körpern Mathematik für Realschulen 5. S. 210 (Frankfurt: Diesterweg)

21 Lehrplan Realschule Kl. 9 M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.) Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen

22 Lehrplan Realschule Kl. 9 M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.) Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen

23 Lehrplan Realschule Kl. 9 M 9.10 Raumgeometrie (ca. 17 Std.) Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern, um aus dem bereits bekannten Volumen des Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren, wie man mit ihm das Volumen weiterer Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungen und setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler Rotationskörper und gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche dieser Körper. Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen von Prisma und Pyramide gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt, Mantellinie; Abwicklung, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen Kugel: Oberfläche und Volumen Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehung zusammengesetzter Körper

24 Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 8

25 Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 9

26 Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 10

27 Flächeninhalt von Vielecken Grundidee: Flächen wie etwa ein Parallelogramm kann man nicht mit Einheitsquadraten überdecken. Die Methode der Wahl ist dann die Zerlegung. Eigenschaften des Flächeninhalts: Invarianz unter Kongruenzabbildungen Additivität

28 Flächeninhalt von Vielecken Prinzip der Zerlegungsgleichheit Zwei ebene Figuren haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in gleich viele, paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. (Hefendehl-Hebeker, 2002)

29 Flächeninhalt von Vielecken Prinzip der Ergänzungsgleichheit Zwei ebene Figuren haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie durch Hinzufügen gleich vieler, paarweise kongruenter Figuren zu zerlegungsgleichen Figuren ergänzt werden können. (Hefendehl-Hebeker, 2002) a a a

30 Flächeninhalt des Parallelogramms Elemente der Mathematik 8. S. 152 (Hannover: Schroedel)

31 Flächeninhalt des Parallelogramms Elemente der Mathematik 8. S. 153 (Hannover: Schroedel)

32 Flächeninhalt des Dreiecks Elemente der Mathematik 8. S. 159 (Hannover: Schroedel)

33 Elemente der Mathematik 8. S. 163 (Hannover: Schroedel) Flächen- inhalt des Trapezes

34 Oberfläche des Prismas Elemente der Mathematik 8. S. 172 (Hannover: Schroedel)

35 Messung des Volumens Grundidee Auslegen mit Einheitswürfeln Gleichheit Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie lückenlos und ohne Überschneidungen mit der gleichen Anzahl von Einheitswürfeln ausgelegt werden können. Prototyp Ein Quader mit den Kanten a, b und c hat das Volumen V = abc.

36 Zerlegungsgleichheit Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie in gleich viele Teilkörper zerlegt werden können, die paar- weise das gleiche Volumen haben. Auf dieser Grundidee basiert die Berechnung des Volumens eines beliebigen Prismas. Man zerlegt das Prisma in Dreiecksprismen, die wiederum in zwei Dreiecksprismen mit je einem rechten Winkel zerlegt werden können.

37 Volumen des Prismas Elemente der Mathematik 8. S. 176 (Hannover: Schroedel)

38 Volumen eines schiefen Prismas Es gilt die Formel V = Gh für ein Prisma mit Grundfläche G und Höhe h. Begründung: Man betrachtet ein Parallelflach (Spat), also ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist. Das Volumen kann auf das Volumen eines Quaders zurückgeführt werden.

39 Das Prinzip von Cavalieri Formulierung: Gegeben sind zwei Körper, die zwischen zwei parallelen Ebenen liegen. Falls jede weitere, zu den beiden Ebenen parallele Ebene aus den Körpern inhaltsgleiche Flächen herausschneidet, dann haben die Körper das gleiche Volumen. Grundidee: Ein Körper wird in infinitesimal dünne „Schichten“ zerlegt. Hinführung: Zerlegung eines Quaders in gleich breite „Scheiben“.

40 Das Volumen einer Pyramide Grundidee : Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben dasselbe Volumen. Hinführung: Ein Dreiecksprisma kann in drei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, also insbesondere in drei Pyramiden mit gleichem Volumen zerlegt werden. Folgerung: Das Volumen V einer Dreieckspyramide mit Grundfläche G und Höhe h ist V = G h / 3.

41 Das Volumen einer Pyramide Elemente der Mathematik 10. S. 155 (Hannover: Schroedel)

42 Elemente der Mathematik 10. S. 157 (Hannover: Schroedel) Das Volumen einer Pyramide

43 Vereinfachung : Man geht experimentell vor und arbeitet mit Füllversuchen (Wasser, Sand).

44 Das Volumen einer Pyramide Elemente der Mathematik 10. S. 155 (Hannover: Schroedel)


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