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I Grundlagen 1. Logik Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt.

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2 I Grundlagen

3 1. Logik

4 Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören. 2 ist kleiner als 1. Es gibt eine natürliche Zahl die größer als alle anderen ist. Für drei Punkte gibt es immer eine Gerade, zu der sie gehören. Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden. Es ist unangemessen, die Null als natürliche Zahl zu bezeichnen.

5 Aussageformen 3n ist eine gerade Zahl. m teilt n ohne Rest. Alle a sind b. a = b. Aristoteles (384 - 322) gilt als Schöpfer der klassischen Logik

6 Quantoren Mindestens eine Lösung der Gleichgung x 3 + 1 = 0 ist reell.  : ist reell. Alle Lösungen der Gleichung x 3 + 1 = 0 sind reell.  : ist reell.  n  m: n < m.  m  n: n < m.

7 Symbol Anwendung Bedeutung  A  BA gilt genau dann wenn B gilt.  A  BWenn A gilt, dann gilt auch B.  A  BA und B gelten beide.  A  BA oder B oder beide gelten.  A A gilt nicht.

8 AB 11 10 01 00

9 ABA  BA  B 111 100 010 001

10 ABA  BA  BA  BA  B 1111 1000 0101 0011

11 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  B 11111 10000 01010 00110

12 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B 111111 100001 010101 001100

13 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B AA 1111110 1000010 0101011 0011001

14 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B AA 1111110 1000010 0101011 0011001

15 AB AA BB 1100 1001 0110 0011

16 AB AA BB A  BA  B 11001 10010 01101 00111

17 AB AA BB A  BA  B B  AB  A 110011 100100 011011 001111

18 AB AA BB A  BA  B B  AB  A ¬A  B 1100111 1001000 0110111 0011111

19 1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)

20 1.2 Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel oder durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen die Wahrheit der folgenden logischen Gesetze: A  (  A)(Doppelte Negation) A   A(Tertium non datur)  (A   A)(Kontradiktion) ((A   B)  A)   B (Abtrennungsregel) ((A   B)   B)   A(Widerlegung) ((A   B)  (B   C))   (A   C) (Syllogismus)

21 1.3 Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr, welche sind immer falsch, welche sind vom Wahrheitswert der Einzelaussagen abhängig? A  ¬AA  ¬A A  AA  A (A  B)  A A  (B  A) (A  (A  B))  B (A   B)  (B   A ) (A  B)  (A  B) ¬B  (A  ( A  B))

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