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Primzahlen für Einsteiger1 Alte und neue Ergebnisse.

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Präsentation zum Thema: "Primzahlen für Einsteiger1 Alte und neue Ergebnisse."—  Präsentation transkript:

1 Primzahlen für Einsteiger1 Alte und neue Ergebnisse

2 Primzahlen für Einsteiger2 Referenzen: Meine Hochschule

3 Primzahlen für Einsteiger3 Mein Fachbereich 500 Studierende 2 Sekretärinnen 6 Assistenten 3 Professorinnen, 12 Professoren Viele Lehrbeauftragte aus der Wirtschaft

4 Primzahlen für Einsteiger4 Referenzen: Meine Gemeinde Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie?

5 Primzahlen für Einsteiger5 Der Plan Teilbarkeit Was ist eine Primzahl Warum Primzahlen interessant sind Wie viele Primzahlen gibt es Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlen finden Rekorde Kuriosa

6 Primzahlen für Einsteiger6 Haben Sie eine Lieblingsprimzahl? Meine Lieblingsprimzahl: ist keine Primzahl!

7 Primzahlen für Einsteiger7 Der Anfang: Pythagoras Pythagoras: Geboren: 569 v.Chr. In Samos, Ionien Gestorben: 475 v. Chr. (in Kroton??) Vor allem Philosoph, der erste reine Mathematiker Zahlenmystiker (Perfekte Zahlen, alles in Proportionen)

8 Primzahlen für Einsteiger8 Die Geographie der Mathematik

9 Primzahlen für Einsteiger9 Die Geographie der Mathematik

10 Primzahlen für Einsteiger10 Was ist eine Primzahl? Die Definition, die Sie kennen: Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Raus aus dem Primzahlenhimmel!

11 Primzahlen für Einsteiger11 Teilbarkeit bei ganzen Zahlen Beispiele: 7 teilt 42, 7|42, denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = teilt 42 nicht, 8 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = 8 c

12 Primzahlen für Einsteiger12 Teilbarkeit bei ganzen Zahlen Die grundlegende Definition: a, b, c seien ganze Zahlen. a b bedeutet: b ist Vielfaches von a: Es gibt eine Zahl c mit b = a c

13 Primzahlen für Einsteiger13 Teilbarkeitseigenschaften 7 42 und 7 63, also auch 7 ( ), a b und a c, dann auch a (b + c) 7 42 und 7 63, also auch 7 ( ), a b und a c, also auch a (b - c) Satz: Teilt a die Zahlen b und c, dann auch deren Summe und Differenz.

14 Primzahlen für Einsteiger14 Teilbarkeitseigenschaften 7 42, also auch a b, dann auch a c b Satz: Teilt a die Zahl b, dann auch jedes Vielfache von b Problem: Gilt das Folgende (eine Art Umkehrung): Aus a b c folgt: a b oder a c ?

15 Primzahlen für Einsteiger15 Teilbarkeitseigenschaften Die Umkehrung ist falsch: Aus a b c folgt nicht: a b oder a c Gegenbeispiel:

16 Primzahlen für Einsteiger16 Primzahlen Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker)

17 Primzahlen für Einsteiger17 Einige Primzahlen Die ersten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. (?)

18 Primzahlen für Einsteiger18 Teilermengen T(42) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42} T(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} T(43) = {1, 43} T( 143) = {1, 11, 13, 143} Die zweitkleinste Zahl ist stets Primzahl

19 Primzahlen für Einsteiger19 Warum Primzahlen wichtig sind (Theorie) Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = = = Sie finden dies bei Euklid

20 Primzahlen für Einsteiger20 Euklid Euklid: Geb. 325 v. Chr. Gst: 265 v. Chr. in Alexandria Der Mathematiker des Altertums

21 Primzahlen für Einsteiger21 Wie zerlegt man in Primfaktoren? Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = Dies ist nicht einfach!

22 Primzahlen für Einsteiger22 Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis) Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen.

23 Primzahlen für Einsteiger23 Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen

24 Primzahlen für Einsteiger24 Schönheit in der Mathematik Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise

25 Primzahlen für Einsteiger25 Proofs from the Book Start: 6 Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt

26 Primzahlen für Einsteiger26 Euklids Beweis

27 Primzahlen für Einsteiger27 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5 E = = 31: Eine neue Primzahl!

28 Primzahlen für Einsteiger28 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Beispiele: p 1 = 3, p 2 = 5, p 3 = 7 E = = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält eine neue Primzahl als Faktor, hier die Zahl 2. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106

29 Primzahlen für Einsteiger29 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Allgemein: p 1, p 2, p 3, …, p n seien Primzahlen. E = p 1 p 2 p 3 … p n + 1 : Keine der Zahlen p 1, p 2, p 3, …, p n teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.

30 Primzahlen für Einsteiger30 Unendlich viele Primzahlen, ist das genug? In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form n n, aber nur 139 mit weniger als 300 Stellen

31 Primzahlen für Einsteiger31 Noch schlimmer: Primzahlenlücken Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Beweisidee: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….., 43! + 43 (Aber: 43! = )

32 Primzahlen für Einsteiger32 Die Verteilung der Primzahlen

33 Primzahlen für Einsteiger33 Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x:

34 Primzahlen für Einsteiger34 Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962)

35 Primzahlen für Einsteiger35 Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1962)

36 Primzahlen für Einsteiger36 Wie viele Primzahlen bis ?

37 Primzahlen für Einsteiger37 Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: –Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) –Formeln (traurig und schön) –Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen

38 Primzahlen für Einsteiger38 Das Sieb des Eratosthenes Eratosthenes Geb.: 276 v. Chr. in Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria Zahlentheoretiker. Bestimmte den Erdumfang, ebenso die Abstände von Mond und Sonne

39 Primzahlen für Einsteiger39 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis

40 Primzahlen für Einsteiger40 Mersenne Zahlen Marin Mersenne Geb.: 1588 in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen

41 Primzahlen für Einsteiger41 Mersenne Zahlen M(p) = 2 p – 1, p Primzahl M(2) = 3 M(3) = 7 M(5) = 31 M(7) = 127 M(11) = 2047 = 23*89, also keine Primzahl

42 Primzahlen für Einsteiger42 Mersenne Zahlen Der Stand der Kunst: 2000 waren 37 Mersenne-Primzahlen bekannt. Rekord-Mersenne-Primzahl: M( ) (mit mehr als 2 Millionen Stellen)

43 Primzahlen für Einsteiger43 Exkurs: Vollkommene Zahlen x heißt vollkommen, wenn x gleich der Summe der echten Teiler von x ist. Beispiele: 6 = = 2 * 3 = 2 (2-1) * M(2) 28 = = 4 * 7 = 4 * M(3) = 2 (3-1) * M(3)

44 Primzahlen für Einsteiger44 Vollkommene gerade Zahlen Satz von Euklid und Euler: Eine gerade Zahl x ist genau dann vollkommen, wenn sie von der Form 2 (p-1) * M(p) ist, wobei p und M(p) Primzahlen sind

45 Primzahlen für Einsteiger45 Fermat-Zahlen Pierre der Fermat Geb.: 1601 in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker

46 Primzahlen für Einsteiger46 Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen.

47 Primzahlen für Einsteiger47 Fermat-Zahlen F(0) = = 3, Primzahl F(1) = = 5, Primzahl F(2) = = 17, Primzahl F(3) = = 257, Primzahl F(4) = = , Primzahl Lauter Primzahlen!

48 Primzahlen für Einsteiger48 Eulers Antwort Leonhard Euler Geb.: 1707 in Basel Gest.: 1783 in St. Petersburg Einer der größten Mathematiker aller Zeiten

49 Primzahlen für Einsteiger49 Eulers Antwort (genial) F(5) = = , F(5) = = Weitere Fermatsche Primzahlen sind nicht bekannt.

50 Primzahlen für Einsteiger50 Rekorde F(11): Größte Fermatzahl mit vollständiger Faktorisierung F(24): Kleinste Fermatzahl, von der nicht bekannt ist, ob sie Primzahl ist oder nicht F(303088): Größte Fermatzahl, für die nicht prim bewiesen wurde (Ein Faktor ist 3 x , Young 1998)

51 Primzahlen für Einsteiger51 Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln

52 Primzahlen für Einsteiger52 Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts

53 Primzahlen für Einsteiger53 Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41

54 Primzahlen für Einsteiger54 Offene Fragen Wie hoch ist der Aufwand, eine Zahl zu faktorisieren? Wie stellt man fest, ob eine Zahl Primzahl ist? Wie findet man große Primzahlen? Einfache Formeln für unendlich viele Primzahlen

55 Primzahlen für Einsteiger55 Weitere Veranstaltungen Mathe für Alle in Eppelborn: Am im Rathaus Schrecken der Unendlichkeit I: Am um in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus


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