Primzahlen für Einsteiger

Präsentation zum Thema: "Primzahlen für Einsteiger"—  Präsentation transkript:

1 Primzahlen für Einsteiger
Alte und neue Ergebnisse Primzahlen für Einsteiger

2 Referenzen: Meine Hochschule
Primzahlen für Einsteiger

3 Primzahlen für Einsteiger
Mein Fachbereich 500 Studierende 2 Sekretärinnen 6 Assistenten 3 Professorinnen, 12 Professoren Viele Lehrbeauftragte aus der Wirtschaft Primzahlen für Einsteiger

4 Referenzen: Meine Gemeinde
Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie? Primzahlen für Einsteiger

5 Primzahlen für Einsteiger
Der Plan Teilbarkeit Was ist eine Primzahl Warum Primzahlen interessant sind Wie viele Primzahlen gibt es Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlen finden Rekorde Kuriosa Primzahlen für Einsteiger

6 Haben Sie eine Lieblingsprimzahl?
Meine Lieblingsprimzahl: 17 42 ist keine Primzahl! Primzahlen für Einsteiger

7 Der Anfang: Pythagoras
Geboren: 569 v.Chr. In Samos, Ionien Gestorben: 475 v. Chr. (in Kroton??) Vor allem Philosoph, der erste reine Mathematiker Zahlenmystiker (Perfekte Zahlen, alles in Proportionen) Primzahlen für Einsteiger

8 Die Geographie der Mathematik
Primzahlen für Einsteiger

9 Die Geographie der Mathematik
Primzahlen für Einsteiger

10 Primzahlen für Einsteiger
Was ist eine Primzahl? Die Definition, die Sie kennen: Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es geht um natürliche Zahlen, es geht um Teilbarkeit. Schon jetzt: 1 ist keine Primzahl, sie macht nur unnötigen Ärger! Raus aus dem Primzahlenhimmel! Primzahlen für Einsteiger

11 Teilbarkeit bei ganzen Zahlen
Beispiele: 7 teilt 42, 7|42, denn 42 ist Vielfaches von 7, d.h. 42 = 7 ∙ 6 8 teilt 42 nicht, 8 ┼ 42, denn 42 ist nicht Vielfaches von 8, d.h. es gibt keine Zahl c mit 42 = 8 ∙ c Primzahlen für Einsteiger

12 Teilbarkeit bei ganzen Zahlen
Die grundlegende Definition: a, b, c seien ganze Zahlen. a │b bedeutet: b ist Vielfaches von a: Es gibt eine Zahl c mit b = a ∙ c Primzahlen für Einsteiger

13 Teilbarkeitseigenschaften
7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │105 a │ b und a │c, dann auch a │ (b + c) 7 │ 42 und 7 │63, also auch 7 │ ( ), 7 │-21 a │ b und a │c, also auch a │ (b - c) Satz: Teilt a die Zahlen b und c, dann auch deren Summe und Differenz. Primzahlen für Einsteiger

14 Teilbarkeitseigenschaften
7 │ 42, also auch 7 │ 20 ∙ 42 a │ b, dann auch a │ c ∙ b Satz: Teilt a die Zahl b, dann auch jedes Vielfache von b Problem: Gilt das Folgende (eine Art Umkehrung): Aus a │ b ∙ c folgt: a │b oder a │c ? Primzahlen für Einsteiger

15 Teilbarkeitseigenschaften
Die Umkehrung ist falsch: Aus a │ b ∙ c folgt nicht: a │b oder a │c Gegenbeispiel: Primzahlen für Einsteiger

16 Primzahlen für Einsteiger
Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker) Primzahlen für Einsteiger

17 Primzahlen für Einsteiger
Einige Primzahlen Die ersten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. (?) Primzahlen für Einsteiger

18 Die zweitkleinste Zahl ist stets Primzahl
Teilermengen T(42) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42} T(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} T(43) = {1, 43} T( 143) = {1, 11, 13, 143} Die zweitkleinste Zahl ist stets Primzahl Primzahlen für Einsteiger

19 Warum Primzahlen wichtig sind (Theorie)
Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid Primzahlen für Einsteiger

20 Primzahlen für Einsteiger
Euklid Euklid: Geb v. Chr. Gst: v. Chr. in Alexandria Der Mathematiker des Altertums Primzahlen für Einsteiger

21 Wie zerlegt man in Primfaktoren?
Beispiele: Z = 42 Z = 182 Z = 3553 Z = Dies ist nicht einfach! Primzahlen für Einsteiger

22 Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis)
Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen. Primzahlen für Einsteiger

23 Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

24 Schönheit in der Mathematik
Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise Primzahlen für Einsteiger

25 Primzahlen für Einsteiger
Proofs from the Book Start: 6 Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt Primzahlen für Einsteiger

26 Primzahlen für Einsteiger
Euklids Beweis Primzahlen für Einsteiger

27 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl! Primzahlen für Einsteiger

28 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Beispiele: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7 E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält eine neue Primzahl als Faktor, hier die Zahl 2. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106 Primzahlen für Einsteiger

29 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Allgemein: p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen für Einsteiger

30 Unendlich viele Primzahlen, ist das genug?
In der Kryptologie interessant: Primzahlen mit etwa 300 Stellen. Gibt es genügend viele davon? Es gibt unendlich viele Zahlen der Form nn, aber nur 139 mit weniger als 300 Stellen Primzahlen für Einsteiger

31 Noch schlimmer: Primzahlenlücken
Es gibt beliebig große Primzahlenlücken. Beweisidee: Eine Lücke der Länge 42 43! + 2, 43! + 3, 43! + 4, ….. , 43! + 43 (Aber: 43! = 6 ∙ 1052) Primzahlen für Einsteiger

32 Die Verteilung der Primzahlen
Primzahlen für Einsteiger

33 Primzahlen für Einsteiger
Der Primzahlensatz (1896) Satz: Für große x: Primzahlen für Einsteiger

34 Primzahlen für Einsteiger
Der Primzahlensatz (1896) Nicolas de la Vallee- Poussin (1866 – 1962) Primzahlen für Einsteiger

35 Primzahlen für Einsteiger
Der Primzahlensatz (1896) Jacques Salomon Hadamard (1865 – 1962) Primzahlen für Einsteiger

36 Wie viele Primzahlen bis 10300?
Primzahlen für Einsteiger

37 Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

38 Das Sieb des Eratosthenes
Geb.: 276 v. Chr. in Cyrene (Libyen) Gest.: 194 v. Chr. in Alexandria Zahlentheoretiker. Bestimmte den Erdumfang, ebenso die Abstände von Mond und Sonne Primzahlen für Einsteiger

39 Sieb des Eratosthenes: Alle Primzahlen bis 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Primzahlen für Einsteiger

40 Primzahlen für Einsteiger
Mersenne Zahlen Marin Mersenne Geb.: in Oize Gest.: 1648 in Paris Mathematiker und Physiker, suchte Formeln für Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

41 Primzahlen für Einsteiger
Mersenne Zahlen M(p) = 2p – 1, p Primzahl M(2) = 3 M(3) = 7 M(5) = 31 M(7) = 127 M(11) = 2047 = 23*89, also keine Primzahl Primzahlen für Einsteiger

42 Mersenne Zahlen Der Stand der Kunst: 2000 waren 37 Mersenne-Primzahlen
bekannt. Rekord-Mersenne-Primzahl: M( ) (mit mehr als 2 Millionen Stellen) Primzahlen für Einsteiger

43 Exkurs: Vollkommene Zahlen
x heißt vollkommen, wenn x gleich der Summe der echten Teiler von x ist. Beispiele: 6 = = 2 * 3 = 2(2-1) * M(2) 28 = = 4 * 7 = 4 * M(3) = 2(3-1) * M(3) Primzahlen für Einsteiger

44 Vollkommene gerade Zahlen
Satz von Euklid und Euler: Eine gerade Zahl x ist genau dann vollkommen, wenn sie von der Form 2(p-1) * M(p) ist, wobei p und M(p) Primzahlen sind Primzahlen für Einsteiger

45 Primzahlen für Einsteiger
Fermat-Zahlen Pierre der Fermat Geb.: in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker Primzahlen für Einsteiger

46 Primzahlen für Einsteiger
Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen. Primzahlen für Einsteiger

47 Primzahlen für Einsteiger
Fermat-Zahlen F(0) = = 3, Primzahl F(1) = = 5, Primzahl F(2) = = 17, Primzahl F(3) = = 257, Primzahl F(4) = = , Primzahl Lauter Primzahlen! Primzahlen für Einsteiger

48 Primzahlen für Einsteiger
Eulers Antwort Leonhard Euler Geb.: in Basel Gest.: 1783 in St. Petersburg Einer der größten Mathematiker aller Zeiten Primzahlen für Einsteiger

49 Eulers Antwort (genial)
F(5) = = , F(5) = = 641 ∙ Weitere Fermatsche Primzahlen sind nicht bekannt. Primzahlen für Einsteiger

50 Primzahlen für Einsteiger
Rekorde F(11): Größte Fermatzahl mit vollständiger Faktorisierung F(24): Kleinste Fermatzahl, von der nicht bekannt ist, ob sie Primzahl ist oder nicht F(303088): Größte Fermatzahl, für die „nicht prim“ bewiesen wurde (Ein Faktor ist 3 x , Young 1998) Primzahlen für Einsteiger

51 Eine Formel für alle Primzahlen
Hardy und Wrights Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen für Einsteiger

52 Primzahlen für Einsteiger
Godfrey Harold Hardy Geb.: 1877 in Cranleigh Gest.: 1947 in Cambridge Einer der bedeutendsten Zahlentheoretiker des 20. Jahrhunderts Primzahlen für Einsteiger

53 Primzahlen für Einsteiger
Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 € Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41€ Primzahlen für Einsteiger

54 Primzahlen für Einsteiger
Offene Fragen Wie hoch ist der Aufwand, eine Zahl zu faktorisieren? Wie stellt man fest, ob eine Zahl Primzahl ist? Wie findet man große Primzahlen? Einfache Formeln für unendlich viele Primzahlen Primzahlen für Einsteiger

55 Weitere Veranstaltungen
Mathe für Alle in Eppelborn: Am im Rathaus Schrecken der Unendlichkeit I: Am um in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus Primzahlen für Einsteiger