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Solitäre Wellen & Solitonen. Einführung (Entdeckung der Solitonen) Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – Gleichung Korteweg –

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Präsentation zum Thema: "Solitäre Wellen & Solitonen. Einführung (Entdeckung der Solitonen) Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – Gleichung Korteweg –"—  Präsentation transkript:

1 Solitäre Wellen & Solitonen

2 Einführung (Entdeckung der Solitonen) Einführung (Entdeckung der Solitonen) Korteweg – de – Vries – Gleichung Korteweg – de – Vries – Gleichung Fermi – Pasta – Ulam – Problem Fermi – Pasta – Ulam – Problem Arbeiten von Zabusky & Kruskal Arbeiten von Zabusky & Kruskal Die Sine – Gordon – Gleichung Die Sine – Gordon – Gleichung Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) Grundprinzipien für lineare Wellen (Ausbreitung) Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Wellen Elementare Ideen zur Ausbreitung nichtlinearer Wellen

3 Die Entdeckung der Solitonen Ich beobachtete die Bewegung eines Bootes, das von einem Pferdegespann ziemlich rasch einen engen Kanal entlang gezogen wurde, als das Boot plötzlich anhielt nicht jedoch die Wassermasse im Kanal, die das Boot in Bewegung gesetzt hatte; sie sammelte sich rund um den Schiffsbug in einem Zustand wilder Erregung, ließ das Schiff dann plötzlich hinter sich, rollte mit hoher Geschwindigkeit vorwärts, nahm dabei die Form einer großen einzelnen Erhöhung an, ein abgerundeter, glatter, wohldefinierter Haufen Wasser, der entlang dem Kanal anscheinend ohne Formveränderung oder Geschwindigkeitsabnahme seinen Lauf nahm. Ich begleitete diese Welle auf meinem Pferd und überholte sie, während sie sich immer noch mit einer Geschwindigkeit von etwa acht oder neun Meilen pro Stunde bewegte, wobei sie ihre ursprüngliche Gestalt von etwa 30 Fuß Länge und ein bis eineinhalb Fuß Höhe beibehielt. Die Höhe nahm allmählich ab, und nachdem ich das ganze für etwa ein oder zwei Meilen beobachtet hatte, verlor ich es in den Windungen des Kanals aus dem Auge.

4 Die Entdeckung der Solitonen Was passiert einer gewöhnlichen Welle in einem sehr tiefen Kanal ??? Funktionenreihe nach Fourier: Verschiedene FrequenzenVerschiedene Geschwindigkeiten

5 Die Entdeckung der Solitonen Dispersion = Auseinanderlaufen von Wellen verschiedener Frequenzen Russells WelleKeine Dispersion Warum ? Nichtlineare Kopplung

6 Die Entdeckung der Solitonen Russells Experimente Translationswellen GeschwindigkeitAmplitude

7 Die Entdeckung der Solitonen

8 Alles beim Alten außerKleine Phasenverschiebung Scheinbar einzelne Welle teilt sich auf schnelllangsam ? Gedächtnis ?

9 Die Entdeckung der Solitonen SolitonGebrochene Welle

10 Korteweg-de-Vries-Gleichung 10 Jahre nach Russells Tod – 2 Holländer folgende Formel hergeleitet: Umskalierung SuchenTranslationsinvariante Lösung D.J.Korteweg

11 Korteweg-de-Vries-Gleichung Translationsinvariante Lösung der Form: mit: Forderung: Lösung:

12 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Verknüpfung von: Nichtlinearem Problem mit KDV-Gleichung !!! Betrachte: NN+1N-1 Nur Ww. unter Nachbarn Bewegungsgleichung:

13 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Bsps: …sind so gewählt, dass die max. Auslenkung von Q herrvorgerufen durch die Nichtlinearitäten sehr klein sein soll !!

14 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Numerisch IntegrierenAnfangsdaten eines Sinus Q n in eine kontinuierliche Form bringen mit: Mac-Laurin-Erweiterung Bewegungsgleichung: Ziel: In die KDV-Gleichung umschreiben

15 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Betrachte: f….als Mac-Laurin-Reihe: Die Wahl von f wie in (1) führt nun zu: Boussinesq-Gleichung!!! mit:

16 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Lösung der Boussinesq-Gln.ist (für endlose Kette): Ziel: Wollen die Boussinesq-Gln. auf die KDV-Gln. reduzieren!!! Skalierung: für…x,t,u, + neuen Parameter einführen Entwickeln: u in … Konsistenz nur wenn:

17 Fermi-Pasta-Ulam-Problem Die KDV-Gleichung erhält man wenn man die Gln. für u (1) integriert: Für kubisch-nichtlineare Ketten mit f(Q) wie in (2) erhält man: Müssen r = 0 wählen: Konsistenz nur wenn: Integration führt dann auf: Modifizierte KDV-Gleichung

18 Zabusky & Kruskal Welle die sich ohne Änderung der Form fortpflanzt und ein lokales Profil besitzt Def:……..Solitäre Welle Soliton: KDV-Gleichung:….Multiplizierten den 3-ten Ableitungsterm mit Faktor: 0,022 & Periodische Randbedingungen: Ergebnis:….Welle mit stabiler Amplitude & fast identisches Profil wie Solitäre. Welle! Viel wichtiger als die Form ist die Teilcheneigenschaft !!! ….Taucht erstmals auf in den Arbeiten von Z & K

19 Zabusky & Kruskal KDV-Soliton…. MKDV-Soliton…. (sech) 2 - Form sech - Form Ziel: ….Wollen Modell studieren für den Stoß zweier Solitonen … müssen die KDV – Gln. erstmal in eine homogene Gln. transformieren. …Ausgangspunkt ist die KDV – Gleichung in der Form: Folgt eine in f homogene Gleichung: Cole – Hopf - Transformation

20 Zabusky & Kruskal Ziel: …Wollen diese Gleichung lösen Suchen eine Lösung der Form:

21 Zabusky & Kruskal Weil lineare Gln.: …soviele Exponentialfkt. einfügen wie man will Wählen nur zwei Stück : Exakte Lösung von f(1) einsetzen in rechte Seite obiger Gln.

22 Zabusky & Kruskal Integration gibt: ??? Endlos ???: Setzen Lsg. von f(1) und f(2) in die rechte Seite ein: Für alle folgenden Iterationen gilt: Absolut notwendig damit wir eine exakte Lsg. erhalten !!! Wir erhalten somit als exakte Lsg. :

23 Die Sine – Gordon – Gleichung Klein – Gordon – Gleichung: Herleitung aus der Lagrangedichte: Skyrme (1958): Nichtlineare Feldtheorie Suchen nach stabilen Wellenlösungen:( Mit Lorentzinvarianz )

24 Die Sine – Gordon - Gleichung Kink Kollision zweier Kinks 1875 zeigte Bäcklund den Aufbau einer Lösungshierarchie Bäcklund - Transformation

25 Die Sine – Gordon - Gleichung

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28 Ziel:Suchen die Bäcklundtransformierte für die Sine – Gordon - Gleichung Betrachte:Allgemeine nichtlineare Klein – Gordon – Gleichung: In den Koordinaten: Annahme:Beide Lösungen sind unabhängig: Betrachte:Gleichungspaar: Mit den Variablen:

29 Die Sine – Gordon - Gleichung Bisher: Linearkombination: Ableiten: Form von F,g und f nicht spezifiziert Obige Form soll dazu dienen die Ableiungsterme für und t in zwei Gleichungen zu entkoppeln.Ableiten obiger Gleichung führt zu: Wenn und unabhängige Lösungen sind, finden wir:

30 Die Sine – Gordon - Gleichung Muß eine Konstante sein !!! Betrag von ist nicht so wichtig wie sein Vorzeichen: Mit: folgt: Sine – Gordon = NLKG + Bäcklundtransformation

31 Die Sine – Gordon - Gleichung Sei eine Lsg. gegeben:2-parametrige Familie von verwandten Lsg. Einfachste Lösung: Einsetzen + Integration: Entspricht der Single – Kink – Lösung ! Weitere Lösungen durch geometrische Konstruktion: Kommutativ !!! a1a1 a2a2 a1a1 a2a2

32 Die Sine – Gordon - Gleichung Insgesamt erhält man also: Mit den Single-Kink-Lösungen: Und der Lösung:

33 Die Nichtlineare-SGLN Entspricht einer komplexen Funktion Fortschreitende Wellenlösung:wenn Außerdem:Gemeinsame Eigenschaften mit: 1)KDV 2)MKDV 3)Sine - Gordon Ziel: Def: Wollen 2 – Solitonen – Lsg. berechnen mit Cole – Hopf -Type Mit:

34 Die Nichtlineare - SGLN So dass: Einsetzen in …. Zeigt, dass die Terme mit höherer Ordnung als zwei verschwinden. 1- Parametrige Lösung ist.

35 Grundprinzipien für lineare Wellen Elementarste lineare Welle: Klein – Gordon – Gleichung: Hat die Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit:Gruppengeschwindigkeit: Dispersionsrelation: Bsp:

36 Grundprinzipien für lineare Wellen Wenn (k) komplex: Harmonische Lösungen wachsen dann exponentiell und: Instabil für: Zerfallen exponentiell für: Schwierig wenn: …Hierbei ist L ein linearer Operator

37 Grundprinzipien für lineare Wellen Bsp. WennFolgt: Reine Dispersionsgleichung mit: Obige Gleichung ist ein brauchbares Beispiel für das Anfangswertproblem Wenn reell und positiv, dann ist die Gleichung dissipativ mit:

38 Grundprinzipien für lineare Wellen Seien die Anfangswerte gegeben durch: Ziel ist die Bestimmung von: Anfangswerte gegeben durch Fourier Für ein allgemeines lineares Gln-Sys. ist = (k),wie oben, erhält man ein Lsg. Für alle t >0 durch:

39 Grundprinzipien für lineare Wellen Wählen nun (x,t) wie folgt: Vertauschen die Integrationen: Mit: Müssen die beiden Integrale abschätzen I 2 ist ungerade deshalb: I 1 kann man wie folgt abschätzen:

40 Grundprinzipien für lineare Wellen Also: Ableiten nach a und integrieren gibt: Mit: Folgt: Als Ergebnis erhalten wir also:

41 Grundprinzipien für lineare Wellen Unterschied Dissipation und Dispersion Gaussfkt. für Anfangswerte: Ergebnis ist: Wenn reell und positiv ist dann… für Wenn: dann oszilliert

42 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Lineare Version der KDV in der Form: Ist eine rein dispersive Gleichung ! Der u xxx -Term bringt dispersive Effekte in die dispersionslose Gleichung Mit: Betrachte nun: Problem: …Entwicklung der Anfangswerte Für die dispersionslose Gleichung:

43 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Analogie: Hat als Lösung: Welche sich mit der Geschwindigkeit u 0 ausbreitet. Mit gegebenen Anfangswerten: Lautet die komplette Lösung:

44 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Umschreiben in: Nachprüfen: und gibt Welches für Lösungen von …gilt: Für die meisten Funktionen auch nicht einfacher! Aber:…

45 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Die funktionale Gleichung ist dann: Dies wird gelöst von: t = 0,0 t = 0,5 t = 1,0 t = 1,5 u u Minimale Brechzeit:

46 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Mehrwertigkeit interpretieren als Diskontinuität für t >Brechzeit: Galilei-Transformation führt auf: Ersetzen die Mehrwertigkeit durch Diskontinuität !!! u X Problem: Wo fügt man die Diskontinuität ein ???

47 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Fläche unter den Anfangsdaten: Flächen unter dem Dreieck: Ähnliche Dreiecke: Man erhält:

48 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Ergebnis: Ohne Dispersiven-Term tritt Mehrdeutigkeit nach endlicher Zeit auf !!! Durch Einführung von u xxx -Term wird Mehrdeutigkeit verhindert Durch den Zabusky-Term wird Mehrdeutigkeit auf alle Zeiten verhindert Dispersion wirkt der Tendenz der NL Diskontinuitäten zu bilden entgegen !!!

49 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Einführung von Dissipation durch: Dies ergibt die Burger-Gleichung: Kann linearisiert werden durch Cole-Hopf-Transformation Man erhält: Mit: Folgt: Schließlich:

50 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen KDV ist die einfachste dispersive Erweiterung von Burger ist die einfachste dissipative Erweiterung von Einfachste Lösung der Burger-Gleichung ist von Taylor u x

51 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Dispersion Soliton Wechselwirkung

52 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Dispersion Soliton Wechselwirkung

53 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Dispersion Soliton Wechselwirkung

54 Ausbreitung Nichtlinearer Wellen Nichtlinearität Dispersion Soliton Wechselwirkung


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