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Lineare Strahlenoptik von Simon Schlesinger. Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 2 Übersicht Motivation Bewegung geladener Teilchen im B-Feld.

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1 Lineare Strahlenoptik von Simon Schlesinger

2 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 2 Übersicht Motivation Bewegung geladener Teilchen im B-Feld -Klassischer Ansatz -Herleitung der Bewegungsgleichung Strahlführungsmagnete -Wirkung der Magnete -Geometrische Beschaffenheit Matrizenformalismus -Mögliche Teilchenbahnen -Beschreibung durch Vektoren+Matrizen -Beispielkonfiguration: FODO-Element Zusammenfassung

3 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 3 Motivation Analogie zur klassischen Optik Warum nicht E-Feld Optik ? Einfachheit des Formalismus (Matrizenmultiplikation) Anwendung: -Elektronenmikroskop -Teilchenbeschleuniger (Linear und Ring) -Massenspektrometer -…

4 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 4 Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I) 1.Wahl des Koordinatensystems Teilchenstrahl in Richtung s: (0,0,v) Magnetfeld in Richtung x und z: (Bx,Bz,0) 2.Kräftegleichgewicht zw. Lorentz- und Zentrifugalkraft 3.Taylorentwicklung Dipol Quadrupol Sextupol Oktupol

5 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 5 Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (II) 1.Setze Ursprung des Koordinatensystems auf Orbit und führe Zylinderkoordinaten ein: 2.Zeitliche Ableitungen der Einheitsvektoren: 3.Linearkombination: Mit Aufpunkt, für den gilt:

6 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 6 Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (III) Durch Kenntnis von lässt sich die Bewegungsgleichung der Teilchen nach Newton aufstellen: Erinnere Einheitsvektoren: Mit Hilfe von folgt:

7 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 7 Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (IV) Einsetzen der lin. Näherung für B und Ausnutzen von und liefert: Koeffizientenvergleich und Vernachlässigung der s-Beschleunigung ergibt dann: Wobei und ausgenutzt wurden.

8 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 8 Strahlführungsmagnete (I) Wie muss die Beschaffenheit eines Magneten sein, um ein entsprechendes Feld (1/R, k, m,…) zu erzeugen? Antwort: Liegt in kl. E-Dyn. begründet, denn nach Maxwell gilt: Alle Punkte auf der Oberfläche besitzen dasselbe Potential! Geben wir einen Feldverlauf G entlang der x-Achse vor, so erhält man mit Hilfe der Laplace - Gleichung einen Ausdruck für das skalare Potential: Für konventionelle Eisenmagneten können wir nun neben Geometrie auch die Feldstärkegrößen (1/R, k, m…) bestimmen!

9 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 9 Strahlführungsmagnete (II) Dipolmagnet Feldstärkenverlauf auf x-Achse konstant: Magnetfeld: Dipolmoment: Wirkung: Ablenkung unter Radius R

10 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 10 Strahlführungsmagnete (III) Quadrupolmagnet Feldstärke Feldstärkenverlauf auf x-Achse linear: Magnetfeld: Quadrupolmoment: Wirkung: Bei k 0 Defokussierung

11 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 11 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (I) Bewegungsgleichung der linearen Strahlenopik: Nicht gekoppelte DGL, daher betrachte z.B. nur horizontale Richtung (x) und vernachlässige Impulsunschärfe: Quadrupol (1/R=0) Dipol (k=0)

12 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 12 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (II) Beispiel: Quadrupol-Lösung für k>0 mit gelöstem AWP Setzen wir und schreiben dann in Matrixform: Die Differentialgleichung liefert dann z.B. die reellen Lösungen: Mit dieser vektoriellen Beschreibung kennen wir neben der Ablage in x-Richtung auch die Tendenz der Auslenkung (Steigung).

13 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 13 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (III) Analog findet man Matrizen für weitere DGL Lösungen: Defokussierung (k>0): Fokussierung (k<0): Freie Driftstrecke (k=0): Ablenkung (Dipol):

14 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 14 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (IV) Beschreibung des Teilchens komplett mit 4-Komponentenvektor: 2x2 Matrizen gehen über zu 4x4 Matrizen (vgl. DGL) System vieler Magnete durch Matrixmultiplikation beschrieben, z.B.:

15 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 15 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (V) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) Ziel: Möglichst gute Fokussierung eines Teilchenstroms Problematik: Ein in x-Richtung fokussierender Quadrupol defokussiert in z- Richtung und umgekehrt! Abhilfe: FODO-Optik

16 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 16 Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (VI) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) Matrixmultiplikation einer FODO-Zelle: Länge der Driftstrecke: d, Länge eines Magneten: m Durch die Kombination von fokussierenden und defokussierenden Quadrupolen erreicht man also eine resultierende Fokussierung zum Orbit! 90°-Drehung Quadrupol

17 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 17 Zusammenfassung 1.Beschreibung der Bewegung von bewegten Teilchen in linearer Näherung gegeben durch: 2.Wirkung + geometrische Beschaffenheit der Führungsmagnete: i) Dipol: Strahlablenkung ii) Quadrupol: Strahl(de)fokussierung iii) (Sextupol: Feldfehlerkompensation…) 3.Matrizenformalismus zur systematischen Ablagebestimmung mit Grundmatrizen zur Ablenkung, (De)Fokussierung und freien Driftstrecken bei beliebigen Anordnungen (z.B. FODO).

18 Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 18 Literatur 1.Wille, Klaus – Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen – Teubner 2.http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/GK/Workshop/Beschleunigerphysik2.pdf 3.http://de.wikipedia.org Vielen Dank für Aufmerksamkeit und Interesse!


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