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Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x =

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Präsentation zum Thema: "Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x ="—  Präsentation transkript:

1 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

2 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8

3 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

4 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

5 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

6 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen. Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x- Achse liegen.

7 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

8 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ?

9 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele !

10 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele ! Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[

11 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[ Das ist die Lösung! ]-1 ; 4[ Lösung

12 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Neben der Parabelmethode gibt es noch die Zahlenstrahltabelle. Parabelmeth ode

13 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Erinnere dich an den Satz von Vieta: -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 => (x – 4)(x + 1) = 0 Die -2 wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0

14 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Also ist -2x² + 6x +8 > 0, wenn -2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.

15 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren. Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!

16 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > Zahlenstrahltabelle Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert. x

17 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 4 Zahlenstrahltabelle Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor. Auf die 0 kann man jetzt verzichten. x

18 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > Zahlenstrahltabelle Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren. x

19 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x

20 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.

21 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.

22 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein. -

23 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein. - -

24 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein. In die erste Zeile müssen also drei - – Zeichen. ---

25 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Jetzt ist die zweite Zeile dran. Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein. ---

26 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Z.B.: (-2 – 4 ) =

27 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Z.B.: (1 – 4 ) =

28 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Z.B.: (5 – 4 ) =

29 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x Es geht auch noch anders. (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

30 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

31 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) Zahlenstrahltabelle x (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein, und rechts von –1 positiv !

32 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

33 Ahnst du es schon?

34 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Minus mal Minus gibt ?

35 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Minus mal Minus gibt ? Minus! -

36 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Minus mal Plus gibt ? -

37 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Minus mal Plus gibt ? Plus! - +

38 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Plus mal Plus gibt ? - +

39 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Minus mal Plus mal Plus gibt ? Minus! - + -

40 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv? - + -

41 Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > (x-4) (x+1) (x-4)(x+1) Zahlenstrahltabelle x Genau! Da ist wieder das Intervall ]-1, 4[


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