Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung."—  Präsentation transkript:

1 MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung (stationär) Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

2 r z B I z Beispiel: Z-Pinch

3 Stabilität von Gleichgewichten

4 Beispiel aus der Hydrodynamik: Rayleigh-Taylor Instabilität Kraftgleichung:

5 Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung: Und dazu noch:

6 Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen Einfacher: Lineare Stabilität: Betrachte kleine Störungen des GG Störungsansatz für, v, p, B: z.B. Stabilitätsuntersuchungen

7 Für statische Gleichgewichte findet man Gleichungen für die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v 1, p 1, B 1 Lineare Stabilitätsuntersuchungen Kontinuitätsgleichung: Kraftgleichung ( mit ) Faradaysches + Ohmsches Gesetz:

8 Lineare Stabilitätsuntersuchungen Adiabatengesetz: Mit Kontinuitätsgleichung:

9 Kraftgleichung Statt v 1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v 1 ) verwenden : Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)

10 Keine Quellen und Senken in idealer MHD EW-Problem mit reellem 2 2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen 2 0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung Eigenwertproblem in linearer MHD

11 Die treibenden Kräfte Einfachster Fall: homogenes Plasma Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

12 Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld: Schallwellen Ausbreitungsgeschwindigkeit:

13 Scher- Alfvèn-Wellen Magnetfeld-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit

14 Kompressionale Alfvèn-Wellen Kompressions-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Charakteristische Geschwindigkeit:

15 MHD-Instabilitäten 2 0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung getrieben durch Druckgradienten und Plasmaströme (detaillierter behandelt im 2. Semester)

16 Auch Rotation kann Quelle freier Energie sein Beispiel: Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben Bilanzierung von Gravitation und Zentrifugalkraft:

17 Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben zwei Massenpunkte (gekoppelt durch vertikales B-Feld) starten am gleichen Radius und laufen durch kleine Anfangsstörung radial auseinander Wegen ~r -3/2, gewinnt der nach innen laufende MP in, der nach außen laufende verliert, aber Feldlinienspannung verhindert Auseinanderlaufen -> auswärts laufendes Element wird durch Kopplung beschleunigt, das nach innen laufende abgebremst -> wegen Drehimpuls P~r 1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen und Beschleunigung Bewegung radial nach außen -> kleine Anfangsstörung wird verstärkt, System ist instabil!

18 Woher kommen Magnetfelder in der Astrophysik? The core

19 Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes: Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie: Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht erschaffen werden schon verwendet bei Ableitung obiger Formel Am Rand sei j=0 Reduzierung der MF-Energie durch Dissipation

20 Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes: Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie: Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht erschaffen werden Am Rand sei u=0 Bedeutung???

21 Analogon: Änderung der kinetischen Energie Kraftgleichung: | u/2 Umwandlung von MF-Energie in kinetische Beschreibt Umwandlung von kinetischer in MF-Energie Anfangs-MF kann verstärkt werden = Dynamo!

22 Änderung der MF- Energie Ohmsche Dissipation Umwandlung zwischen kinetischer und MF-Energie MF-Energie kann nur auf Kosten der kinetischen Plasmaenergie erhöht werden, in statischen Plasmen zerfällt MF: mit charakteristischer Zeitskala: MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht

23 oder magnetische Reynolds-Zahl Analogie zur Hydrodynamik: entspricht kinematischer Viskosität /

24 Das Magnetfeld der Erde fester äußerer Mantel 3500 km < r < 6000 km flüssige Schicht 1200 km < r < 3500 km fester Erdkern R < 1200 km Aufbau der Erde Erdmagnetfeld: Fast Dipolfeld Äquator: 30 T, magn. Pole: 60 T

25 Magnetfeld muss im Erdinneren erzeugt werden, weil es nach außen abfällt Magnetfeld kann nicht durch Permanentmagnet erzeugt sein, da im Zentrum Temperatur zu hoch (> Curie-Temperatur) Zerfallszeit Jahre (Parameter des flüssigen Erdkerns) Änderung der Polarität alle – Jahre, aber MF-Stärke etwa konstant (innerhalb Faktor 3) seit 10 9 Jahren magnetische Reynolds-Zahl: 125 Das Magnetfeld der Erde Erdmagnetfeld existiert viel länger als Zerfallszeit!

26 Dynamo in 2D? Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen? Wie könnte ein Dynamo funktionieren? In 2D kein Dynamo, denn Fluss durch blaue Linie ändert sich nicht!

27 Dynamo in 3D? Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen? Wie könnte ein Dynamo funktionieren? Aber in 3D möglich!

28 Dynamo für ein Dipolfeld? Ein axisymmetrisches stationäres MF kann man aber nicht mit Dynamo erzeugen x x C NN Betrachte Kreis C durch neutrale Punkte: muss endlich sein B || dl entlang C (nur toroidales MF) Widerspruch für stationäres MF!

29 Erdmagnetfeld Aber das Erdmagnetfeld ist auch nicht streng ein Dipol-Feld

30 Betrachte fluktuierendes Feld: Der kinematische Dynamo Änderung des mittleren Feldes: Zusätzlicher Term durch Fluktuationen

31 Änderung des mittleren Feldes: Zusätzlicher Term durch Fluktuationen Betrachte spezielle Form einer Fluktuation Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale B v (turbulente Bewegung von sich bewegenden Wirbeln)

32 Betrachte spezielle Form einer Fluktuation Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale Störung kann symmetrisches MF erzeugen Rekonnektion erforderlich

33 Das Magnetfeld der Erde Konvektion Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche T-Gradient in radialer Richtung Konvektion wegen temperaturabhängiger Dichte der Flüssigkeit: -wärmere (weniger dichte) Flüssigkeit steigt im Gravitationsfeld auf - kühlt dann oben ab - fällt wieder ab System rotiert -> Corioliskraft wirkt Umwandlung von toroidalem in poloidales MF und umgekehrt

34 Das Magnetfeld der Erde Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche Simulationsrechnungen Los Alamos 95% durch Ströme im Erdinneren 5% durch Ströme in Hochatmosphäre (v.a. Ionsosphäre)

35

36 Dynamo funktioniert bei laminarer Strömung (kleine Reynolds-Zahlen), aber nicht für realistische (turbulente Strömung)

37 Für (realistische) turbulente Strömung (hohe Re-Zahl) ist R M für Na zu klein -> Plasma?

38


Herunterladen ppt "MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen