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School of Engineering Kapitel 2: Spektrum periodischer Signale (Fourierreihe) SiSy, Rumc, 2-1 Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich analysiert werden.

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1 School of Engineering Kapitel 2: Spektrum periodischer Signale (Fourierreihe) SiSy, Rumc, 2-1 Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich analysiert werden Die Analyse im Frequenzbereich ist oft vorteilhaft. Wir betrachten in diesem Kapitel analoge periodische Signale und deren Frequenzkomponenten bzw. Spektrum. Spektralanalyse basiert auf Fourierreihe Die Fourieranalyse ist eines der wichtigsten Resultate der angewandten Mathematik und geht zurück auf J.B. Fourier ( ) Inhalt 1. Cosinus- und Sinus-Spektrum 2. Betrag-/Phasen-Spektrum 3. Komplexe Fourierreihe 4. Leistungsberechnung im Frequenzbereich 5. Numerische Approximation der Fourierkoeffizienten

2 School of Engineering Demo: Übertragung bipolarer Datenstrom über eine Leitung Funktions- Generator Oszilloskop Leitung Motivation SiSy, Rumc, 2-2 Beispiel: Lichtbrechung und Spektralfarben Spektralfarben weisses (Sonnen) Licht Sender Empfänger Spektrum- Analyzer Wie gross muss die Bandbreite B min. sein für «formtreue» Übertragung?

3 School of Engineering Cosinus- und Sinus-Spektrum SiSy, Rumc, 2-3 Fourier ( ): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: wobei k≥1k≥1 linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ S 0 = A 0 /2 k≥1k≥1 „gerader" Signalanteil Cosinus-Amplitudenspektrum Sinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum „ungerader" Signalanteil

4 School of Engineering Beispiel: Periodisches Dreiecksignal SiSy, Rumc, 2-4 Fourierreihe AkAk

5 School of Engineering Beispiel: Periodisches Rechtecksignal SiSy, Rumc, 2-5 Fourierreihe B 1 = 4/π, B k = B 1 / k wenn k ungerade

6 School of Engineering Gütekriterium für die Approximation SiSy, Rumc, 2-6 Jede cos- oder sin-Schwingung in der Fourierreihe approximiert das periodische Signal s(t) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: s(t) soll mit A 1 ·cos(2π·f 0 ·t) approximiert werden, wobei f 0 = 1/T 0 Frage: Welches A 1 minimiert die Summe der Fehlerquadrate? Lösung: dΔ / dA 1 = 0 => optimaler Koeffizient A 1 ist aber identisch mit dem entsprechenden Fourierkoeffizienten Fehler r(t)

7 School of Engineering Orthogonalität SiSy, Rumc, 2-7 Die einzelne Koeffizienten A k und B k dürfen unabhängig voneinander optimiert werden, weil die harmonischen Schwingungen orthogonal sind.

8 School of Engineering Gibb‘sches Phänomen SiSy, Rumc, 2-8 Gibb’sches Phänomen (Überschwingen bei Nachbildung der Flanke / Unstetigkeit) verschwindet selbst für K   nicht. Approximation periodisches Rechtecksignal

9 School of Engineering Betrag- / Phasen-Spektrum SiSy, Rumc, 2-9 Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten M k ·cos(2πkf 0 t+φ k ) = M k ·cos(φ k )·cos(2πkf 0 t) - M k ·sin(φ k )·sin(2πkf 0 t) f f0f0 M1M1 M3M3 f f0f0 φkφk 3f 0 M5M5 5f 0 Beispiel: Periodisches Rechtecksignal M k = B k = (4/π)/k φ k = atan(-B k /0) = -π/2 + AkAk -B k M 0 = A 0 /2 k>0 -π/2 MkMk

10 School of Engineering Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-10 Ausgangspunkt: einzelne Fourierkomponente Umformung mit Euler-Formel Zusammenfassung e j… und e -j… Terme ckck c -k 1 komplexer statt 2 reelle Koeffizienten pro Harmonische

11 School of Engineering Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-11 Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten Beispiel: Zweiseitiges Betragsspektrum t 1 T0T0 f f0f0 Ic k I s(t) 3f 0 für k≥1

12 School of Engineering Beispiel: cos-Signal SiSy, Rumc, 2-12 Komplexe Fourierreihe von s(t) = cos(2π·f 0 ·t) Eulerformel Fourierkoeffizienten c 1 = c -1 = ½ Zweiseitiges Spektrum

13 School of Engineering Beispiel: sin-Signal SiSy, Rumc, 2-13 Komplexe Fourierreihe von s(t) = sin(2π·f 0 ·t) Eulerformel Fourierkoeffizienten c 1 = -j/2, c -1 = j/2 Zweiseitiges Spektrum

14 School of Engineering Leistungsberechnung im Frequenzbereich SiSy, Rumc, 2-14 Harmonische sind orthogonal Addition der DC- und AC-Leistungen erlaubt DC-Leistung AC-Leistung k>0 Satz von Parseval

15 School of Engineering Beispiel: Klirrfaktor SiSy, Rumc, 2-15 Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-Signal Mass für lineare Verzerrung (z.B. durch Audioverstärker) Definition Klirrfaktor Y RMS-Oberwellen / Y RMS (DC-frei) Verstärkerkurve sin-Eingangssignal periodisches Ausgangs- signal mit Oberwellen!

16 School of Engineering Numerische Approximation SiSy, Rumc, 2-16 Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t 0 =0) DFT k=0, 1, …, N-1 c k ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2 Approximation Beispiel 1 T=N·Δt ΔtΔt N Stützwerte N=1024; % Stützwerte pro Periode s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; % 1 Periode Rechtecksignal mit N Stützwerten S=fft(s); % DFT c=S/N; % Achtung c0=c(1), c1=c(2) stem([0:19], abs(c(1:20))); grid; % plot Beträge der ersten 20 ck-Werte P=sum(abs(c).^2) % Leistung (Parseval)


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