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1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

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Präsentation zum Thema: "1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4."—  Präsentation transkript:

1 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4

2 2 Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den Bildbereich

3 3 Bildtransformation Unitäre Bildtransformationen Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation... Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation...

4 4 Wichtige Anwendungsgebiete Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation Speziell Bildfilterung Filterung im Frequenzraum Bildkompression JPEG, etc Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung

5 5 Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822 Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen Verlustfreie, invertierbare Transformation

6 6 Fourier-Reihe

7 7 für 0 < t < T für n 1 Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen a n und b n einbezogen Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen

8 8 Fourier-Reihe

9 9 Beispiel Rechteck-Signal

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 17 Beispiel Sägezahn-Signal

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25 Fourier-Reihe

26 26 Fourier Transformation ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen

27 27 Fourier Transformation Fourier Transformierte ist komplex Aufspaltung in Betrag und Phase Spektrum Phase

28 28 Fourier Transformation Beispiel

29 29 Impuls & sinc

30 30 2D Fourier Transformation

31 31 Abtastung Abtastungsgröße

32 32 Diskrete Fourier Transformation

33 33 Diskrete 2D Fourier Transformation

34 34 Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild) wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier- Koeffizienten transformiert Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken: Amplituden Spektrum Phasen Spektrum

35 35 Fourier Spektrum N x M Pixel N x M Frequenzen realkomplex BildSpektrum Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle Amplitude = Höhe einer Welle (=Wichtigkeit) Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt

36 36 Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen! ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen! JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv

37 37 Fourier Wellen

38 38 Fourier Wellen

39 39 Fourier-Wellen

40 40 Fourier-Wellen

41 41 Fourier-Wellen

42 42 2D Fourier Transformation

43 43 Spektrum-Abtastdichte Relation

44 44 Fourier Spektra

45 45 Fourier Spektra

46 46 Fourier Spektra

47 47 Fourier Spektra

48 48 Eigenschaften Translation

49 49 Eigenschaften Rotation

50 50 Eigenschaften Periodizität die DFT eines Bildes ist periodisch Symmetrie die DFT eines Bildes ist symmetrisch

51 51 Eigenschaften Separierbarkeit Transformation der Zeilender Spalten

52 52 Eigenschaften F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert) Linearität:

53 53 Fourier Spektra

54 54 Fourier Spektra

55 55 Fourier Spektra

56 56 Fourier Spektra

57 57 Fourier Spektra

58 58 Translation & Rotation: Power

59 59 Translation & Rotation: Phase

60 60 Manipulation des Fourier Spektrums Amplitude Phase

61 61 Manipulation des Fourier Spektrums Phase Amp = 1 Phase = Frau Amp = Frau Phase = 0 Amp = Rechteck Phase = Frau Amp = Frau Phase = Rechteck

62 62 Bildtransformation Fourier Transformation +Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen (Manipulation) –Transformierte komplex (Spektrum & Phase) –Fließkomma Koeffizienten –Transformierte redundant (Symmetrie) Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung

63 63 Parametrische Transformation Darstellung der Bildinformation anhand von veränderten Ortsraumparametern, z.B. Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar) Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen

64 64 Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels

65 65 Radon Transformation

66 66 Radon Transformation

67 67 Radon Transformation

68 68 Radon Transformation

69 69 Radon Transformation

70 70 Unitäre Bildtransformation Definition einer separablen & symmetrischen Transformation Orthonormalität Zeilentransformation Bild Transformiertes Bild Spaltentransformation

71 71 Unitäre Bildtransformation Basisbilder (2D Basisvektoren) Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen

72 72 Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums, = Lege jede Maske über das Bild Multipliziere Maske & Pixel paarweise Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild => ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!

73 73 Walsh-Hadamard Transformation Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation

74 74 Walsh-Hadamard Transformation

75 75 Haar Transformation Reelle Transformation Schnell Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation

76 76 Haar Transformation

77 77 Cosinus Transformation Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung (DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW

78 78 Cosinus Transformation


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