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Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck1 2.2 Nichtsinusförmige periodische Signale Addition.

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Präsentation zum Thema: "Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck1 2.2 Nichtsinusförmige periodische Signale Addition."—  Präsentation transkript:

1 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck1 2.2 Nichtsinusförmige periodische Signale Addition von zwei sinusförmigen Signalen unterschiedlicher Frequenz ergibt nichtsinusförmiges periodisches Signal. uLuL uRuR R i uCuC 1/jωC jωL u L1 u R1 R i1i1 u C1 1/jωC jωL u L2 u R2 R i2i2 u C2 1/jωC jωL Überlagerungssatz Î 1 cos(ω 1 t+π/2) i = i 1 +i 2 t Î 2 cos(ω 2 tπ/2) Das Gesamtergebnis ist die richtungsrichtige Addition fast gleiche Frequenzen typischer Schwebungsvorgang Mehrere Frequenzen nichtsinusförmiges periodisches Signal

2 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck2 Alle periodischen Signale können durch Zerlegung in eine Fourierreihe zu einer Summe von Sinussignalen umgeformt werden. Allgemein entstehen unendlich viele Summanden U ak und U bk. Alle vorkommenden Frequenzen sind immer genau ganze Vielfache der Grundfrequenz (Oberschwingungen) Wichtige Signalformen aus Tafeln Praktisch immer endliche Anzahl Summanden

3 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck3 Umkehrung Signale aus mehreren Sinussignalen zusammensetzen uLuL uRuR R i uCuC 1/jωC jωL u ges (t) U 0 /2 Synchronisation cosωt x 2 x 1 x n insbesondere im Audiobereich und bei Musikinstrumenten (Register der Orgel, elektronische Register …) nach dieser Methode Zeitfunktion u(t) und Darstellung des Frequenzspektrums ( U ak und U bk oder U ck und φ k ) völlig äquivalente Informationen über den Vorgang.

4 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck4 Bei der Arbeit mit Spektren lässt sich eine Reihe von Regeln erkennen und nutzen. 1.Symmetrie der Zeitfunktion gegenüber der Achse im Zeitnullpunkt t t cos(ωt) sin(ωt) Spiegelsymmetrie f(t) = f(t) nur cos-Funktionen (also U ak ) (alle U bk =0). Unsymmetrie f(t) =f(t) nur sin-Funktionen (also U bk ) (alle U ak =0). 2.Symmetrie der Zeitfunktion bezüglich ihrer Kurvenform gerade und ungerade k nur ungerade k t t Gilt für die Kurven f(t) = f(t) oder f(t) = f(t) und f(t+T/2) = –f(t) (T Periodendauer), zusätzlich zu Punkt 1. nur ungeradzahlige Oberschwingungen (k = 3, 5, 7, 9…). 3.Es können natürlich beide Fälle kombiniert sein und/oder zusätzlich ein Gleichanteil Die Regeln sind sowohl zur Kontrolle der Plausibilität von Messungen unerlässlich als auch zur Aufwandsreduzierung bei Berechnungen sehr hilfreich.

5 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck5 sinusförmiges Signal ist das wichtigste Testsignal t f f0f0 Û Û 0 T T/2 Rechtecksignal Dauer Anstiegs- und Abfallflanken ( t an/ab von 0,1 bis 0,9 Û ) sowie das Überschwingen t f f0f0 3f 0 5f 0 Û Û/2 2Û/3π 2Û/5π 2Û/π 0 T T/2

6 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck6 Dreiecksignal Analyse der Linearität von Systemen (symmetrisches Dreieck und Sägezahn) 0 t f f0f0 2f 0 3f 0 Û Û/2 Û/2π Û/3π Û/π T Beträge U bk Beispiel: Analyse modulierter Signale Ein hochfrequenten Trägersignal kann in seiner Amplitude ( Û HF ), in seiner Frequenz ( ω HF ) oder in seiner Phase ( φ HF ) moduliert werden. u HF (t) = Û HF sin(ω HF t + φ HF )

7 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck7 Amplitudenmodulation Multiplikation der Amplitudenhüllkurve mit einer konstanten hochfrequenten Schwingung NF Hüllkurve Amplitude der HF HF T1T1 T2T2 t Û m Û f f2f2 Û 0 f 2 f 1 f 2 +f 1 m Û/2 Beträge U ak, U bk Modulationsgrad ( m ) maximal 1,0 (Praxis ca. 0,8 ) Leistung ( P u 2 ) Seitenbänder P Nutz gegenüber Trägerleistung P Träger P Nutz = 2(mÛ/2) 2 = m 2 Û 2 /2 < ½ Û 2 = ½ P Träger

8 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck8 Bandbreite (z.B. Übertragung bis ω NF = 2π 15 kHz HiFi-Norm) zwischen unterster ( ω HF ω NF ) und oberster Frequenz ( ω HF + ω NF ) Bandbreite Δω B = 2ω NF > 2π 30 kHz (ohne Stereoübertragung) Einseitenbandmodulation mit unterdrücktem Träger nur ω NF Bei Modulation und Multiplikation entstehen neue Frequenzen im Gegensatz zur Addition. Die Demodulation erfolgt bei der Amplitudenmodulation entweder durch eine Gleichrichtung und anschließende Glättung oder durch nochmalige Multiplikation (Überlagerung) mit cosω 2 t sowie anschließender Tiefpassfilterung nach Glättung t Û f f 2 0 Tiefpass 2f 2 f 1

9 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck9 Das Überlagerungsverfahren dient allgemein zur Frequenzumsetzung. Beispiel: Überlagerungsempfänger (Superhet Empfänger) Antenne f HF Abstimmung Vorkreis f HF ZF-Ver- stärker Oszillator f Osz f ZF Multiplikation Demodulation NF-Verstärker f ZF f NF Oszillatorfrequenz wird gemeinsam mit Frequenz des Vorkreises abgestimmt f HF f Osz oder f Osz f HF immer genau f ZF Spiegelselektion sperrt f Spiegel konstante Zwischenfrequenz f ZF (unabhängig von f HF ) hochwirksamer ZF-Verstärker als Resonanzverstärker günstige Frequenz, Bandbreite und Verstärkung viele Filterkreise hintereinander (5 bis 7) hohe Trennschärfe Frequenzumsetzung Trennung Bild und Ton bei TV, Umsetzung der Signale vom TV-Satellit im LNS Durch Multiplikation (Überlagerung) kann ein Frequenzband in einen fast beliebigen anderen Frequenzbereich umgesetzt werden.

10 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck10 Frequenzmodulation Information in der Frequenz t ωSωS ω(t) ω ωTωT 0 Δω +Δω Bereich für ω(t) Kein Spektrum! Spektrum muss aus zeitunabhängigen Sinusanteilen bestehen ursprünglich cos Φ wird nur für den Fall, dass dΦ/dt = const = ω ist, zu cos ωt Phasenhub Δφ, Frequenzhub Δf

11 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck11 damit kann das frequenzmodulierte Signal geschrieben werden Δf mit f S dividiert für höhere Signalfrequenzen f S wird Δφ verkleinert Spektrum nach der Fourierreihe f f T 0 Beträge U ak, U bk f T +f S f T f S f T +2f S f T +3f S f T +4f S f T 2f S f T 4f S f T 3f S Δf B ca. notwendiges Band Δφ Anzahl notwendiger Seitenbänder

12 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck12 Seitenbandfrequenzen (kleiner als 10% der Amplitude des unmodulierten Trägers vernachlässigt) notwendige Bandbreite (nach Carson) Δf B min = 2(Δφ +1)f S max für Δφ > 1. d.h., auf jeder Seite Δf B min /2f S max = Δφ +1 Seitenbandfrequenzen UKW Rundfunk Festlegung des Δf = 75 kHz, HiFi-Qualität f S max = 15 kHz Phasenhub Δφ = 5, notwendige Bandbreite 180 kHz (Seitenbandfrequenzen 6 ) Bei Beibehaltung von Δφ = 5 aber f S max = 60 kHz (Stereo mit RDS) nicht ganz 400 kHz Mit Δφ = Δf/f S für hohe Signalfrequenzen bei konstantem Δf (repräsentiert Signalamplitude) sinkende Übertragungsqualität hohen Frequenzen Verstärkung der Amplitude – Präemphase im Empfänger wieder Absenkung – Deemphase RC - Hochpass Zeitkonstante 50 μs (UKW in Europa) Frequenzmodulation direkt bei Schwingungserzeugung Beeinflussung der Frequenz Im einfachsten Fall durch Kondensatormikrofon oder durch spannungsgesteuerten elektronisch realisierten Blindwiderstand

13 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck13 Demodulation bei Frequenzmodulation nicht einfach Zuerst alle Amplitudenstörungen durch Begrenzer beseitigen danach: entweder durch Flanken-, Phasen- (= Verhältnis-) bzw. Zähldiskriminator in Amplituden-, Phasen- oder Pulsmodulation gewandelt AM-Demodulator (Gleichrichter), phasenempfindlichen Gleichrichter (Verhältnisgleichrichter, Ringmodulator) bzw. nur einen Tiefpass oder aber in heutiger Zeit durch einen PLL Demodulator 2Δf fTfT Filterflanke FM Phasen- vergleich Tiefpass VCO f Osz NF Regelspannung -Filterkurve wird so justiert, dass die Flanke die FM in eine AM wandelt -PLL-Kreis (Phasenregelkreis) VCO wird der FM nachgeführt, Regelspannung ist exakt das NF-Signal (gut als integrierte Schaltung ) Phasenmodulation der Frequenzmodulation sehr ähnlich Δφsinω S t = Δφ(t) Insgesamt zeigen sich zwei äquivalente Betrachtungsweisen für Signale und Systeme – die Zeitdarstellung und die Frequenzdarstellung –

14 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck14 Aufgabe Addition der Teilschwingungen eines Rechtecksignals mit einem Simulationsprogramm bei Û = 5 V, T = 2 ms. Frage 1: Wie sehen die Grund- und ersten Oberschwingungen (n = 3, 5,7) einzeln aus? Frage 2: Wie sieht das Signal bei schrittweiser Addition der Oberschwingungen (von der 3. bis zur 7.) aus? Frage 3: Wie sehen das Amplituden- und das Phasenspektrum aus? Aufgabe Spektrum eines amplitudenmodulierten Signals mit Û T = 100 V, f T = 500 kHz und zwei Sinussignalen Û 1 = 30 V, f S1 = 80 Hz und Û 2 = 20 V, f S2 = Hz (Mittelwellensignal) Frage 1: Wie sieht die Darstellung des Spektrums der Beträge der Amplituden aus? Frage 2: Welche Übertragungsbandbreite ist mindestens erforderlich? Aufgabe Drei Sprachsignale ( f M = 200 … 3600 Hz ) sollen frequenzmultiplex übertragen werden. Zwischen den Übertragungskanälen ist ein Frequenzabstand von 400 Hz vorzusehen und der erste Kanal soll bei 4 kHz beginnen. Frage 1: Welche Oszillatorfrequenzen wählen Sie für eine Frequenzumsetzung? Frage 2: Es wird eine Multiplikationsschaltung genutzt, welche Frequenzen müssen wieder entfernt werden? Hinweis:Im Vergleich mit einer Amplitudenmodulation soll immer nur ein Seitenband übertragen werden.

15 Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik Dr. Erich Boeck15 Aufgabe Ein VCO wird zur Frequenzmodulation genutzt. (Ausgangsspannung konstant 10 V) U(f T ) dient der Feinabstimmung der Trägerfrequenz zu f T = 100 MHz. Das NF-Signal ist Û S cosω S t. Dabei wurde Û S so gewählt, dass Δf = 75 kHz wird. Die Testsignalfrequenz beträgt einmal f S = 1 kHz und zum anderen 10 kHz. Frage 1: Wie lauten ω(t), Δφ und u(t) ? Frage 2: Wie viel wird das Signal von 10 kHz durch eine Präemphase ( τ = C 1 R 1 = 50 μs ) angehoben, wie sieht qualitativ der Frequenzgang aus (bis ca. 20 kHz )? Hinweis: Z 1 sinkt mit steigender Frequenz und |v| = R F /Z 1 steigt gegenüber v(f = 0) = R F /R 1. Zusatzaufgabe: Simulieren Sie die Anordnung FM Summe VCO NF U(f T ) 2Δf fTfT 2Û S f U f(U) u Prä u NF R1R1 RFRF + C1C1


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