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Kinematische Beugungstheorie -Wahl der Theorie zur Beschreibung der Beugung abhängig vom Beugungswinkel und der Wellenlänge der Strahlung -kinematische.

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Präsentation zum Thema: "Kinematische Beugungstheorie -Wahl der Theorie zur Beschreibung der Beugung abhängig vom Beugungswinkel und der Wellenlänge der Strahlung -kinematische."—  Präsentation transkript:

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2 Kinematische Beugungstheorie -Wahl der Theorie zur Beschreibung der Beugung abhängig vom Beugungswinkel und der Wellenlänge der Strahlung -kinematische Theorie für große Beugungswinkel (2  > 5 … 10°) BORNsche Näherung -Annahmen: -einfach Beugung (Photon interagiert mit GENAU einem Elektron) d.h. der transmittierte Strahl wird nicht gestreut -großer Beugungsvektor -schwache Streuung  Anwendung der elektronmagnetischen Gleichungen -Brechungsindex n = 1 -Gauss-Verteilung der Oberflächenrauheit der Probe (rms-Rauhigkeit) -Wirkungsquerschnitt d  der Streuung: Wieviel der einfallenden Strahlung wird in Richtung (d  ) des Detektors gestreut. T = Streupotential der Atome

3 Kinematische Beugungstheorie -bei großen Eindringtiefen, kommt es zu starker Streuung: kinematische Theorie kann ihre Gültigkeit verlieren -in dünnen Schichten (1 … 10 µm) ist die Streuung schwach, d.h. einfallender und gestreuter Strahl interferieren nicht miteinander -Absorption und Dispersion werden getrennt voneinander betrachtet

4 Kinematische Beugungstheorie -Streuung (scattering) -Thomson-Streuung: freie e - werden durch einfallendes Photon in Schwingung versetzt und emittieren dadurch selbst Photonen -keine Änderung der Frequenz über dem gesamten Prozess -Elektronen streuen die einfallende Welle -Beugung (diffraction) -Kombination von gestreuten Wellen -setzt Translationsgitter voraus um konstruktive Interferenz entlang bestimmter Richtungen zu bewirken -Intensität steigt auf gut messbares Mass

5 Kinematische Beugungstheorie Laue - Bedingung -Mathematische Beschreibung eines 3-dimensionalen Gitters -R = ua+vb+wc (Translationsperiodizität)  r*=ha*+kb*lc* (reziprokes Gitter) -Elektronendichteverteilung im Kristall: -Amplitude der vom gesamten Kristall gestreuten Welle -Amplitude ≠ 0, nur wenn der reziproke Ortsvektor (für den die Amplitude gerechnet wird) mit einem reziproken Gitterpunkt zusammenfällt -Mit r*=(s-s 0 )/ gilt: -= Laue-Bedingung (Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess entspricht einem reziproken Gittervektor)

6 Kinematische Beugungstheorie Ewald-Kugel

7 powder average Ewald sphere

8 Kinematische Beugungstheorie Ewald-Kugel

9 Kinematische Beugungstheorie Ewald-Kugel

10 Kinematische Beugungstheorie Limitierter Bereich -Nur reziproke Gitterpunkte, welche weniger als 2k s vom Ursprung des reziproken Raumes entfernt liegen können in Reflexionsstellung kommen -Nur bei entsprechend kleinen Wellenlängen ist die Ewald-Kugel groß genug, dass reziproke Gitterpunkte die Laue-Bedingungen erfüllen können:  keine Beugung an Kristallen mit sichtbarem Licht

11 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912) -Gleichzeitige Überlagerung von an Atomen auf Netzebenen reflektierten Röntgenstrahlen -Weglängenunterschied zwischen Pfaden von 2 an benachbarten Netzebenen reflektierten Wellen ist 2d sin  -Ist dieser Wegunterschied ein Multiples von, entsteht konstruktive Interferenz beschreibt dasselbe Phänomen wie die Laue-Bedingungen, allerdings auf etwas anderem Wege, wiederum aber mit demselben Ergebnis

12 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912)

13 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912) 2D-Translationsgitter von Streuern

14 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912) 2D-Translationsgitter von Streuern

15 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912) 3D-Translationsgitter von Streuern

16 Kinematische Beugungstheorie Bragg‘sche Gleichung (W.L. Bragg, 1912) 2D-Translationsgitter von Streuern

17 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität -S … Skalierungsfaktor -m … Multiplizität der Netzebenen -L … Lorentz-Faktor -P … Polarisationsfaktor -A … Absorptionskorrektur -F … Strukturfaktor  … Profilfunktion  b … Bragg-Winkel - … Atomschwingungen

18 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Skalierungsfaktor -enthält die Beiträge der Thomson-Streuung -abhängig von der Primärintensität und dem instrumentellen Aufbau -in einen bestimmten Raumwinkel gestreute Intensität -gesamte gestreute Intensität (Integral über alle Raumwinkel) -P/I 0 = 6.7 · cm 2 : Streuquerschnitt für Thomson-Streuung -viz. 2 % der einfallenden Intensität werden gestreut (Kristall < 1 mm, nur freie e - ) r … Abstand Probe-Detektor

19 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Multiplizität der Netzebenen -jede Art von Netzebene besteht aus einer Schar -da der Netzebenenabstand für die Lage eines Beugungsmaxima verantwortlich ist, tragen potentiell alle Netzebenen der Schar zur Intensität bei -Netzebenen mit hoher Multiplizität verursachen daher eine hohe Intensität -Multiplizitätsfaktoren sind symmetrieabhängig

20 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – LPA - Korrektur -Intensitätsänderung durch (teilweise) polarisierte Strahlung -Dauer, welche ein reziproker Gitterpunkt die Beugungsbedingung erfüllt -Korrektur bzgl. unterschiedlicher Pfadlängen in der Probe bei verschiedenen 2  mit Monochromator für symmetrische Geometrie: A = (2µ) -1

21 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Strukturfaktor -wie beeinflusst die atomare Anordnung die Intensität der gebeugten Strahlung -enthält die Amplitude und Phaseninformation der Beugung  ist eine komplexe Größe -kombiniert Informationen von direktem + reziprokem Raum -etwas expliziter: -Strukturfaktor ist die Fouriertransformierte des Streuvermögens (Elektronendichte) N … Anzahl der Atome in der Elementarzelle

22 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – atomare Streufaktoren -das Streuvermögen des Atoms, gegeben durch den Aufbau seiner Elektronenhülle, beschreibt der atomare Streufaktor -f i sind üblicherweise als Funktion von sin  / tabelliert -analytische Annäherung möglich: -a i, b i und c sind tabellierte Werte (berechnet mit dem Hartree-Fock-Modell)

23 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – atomare Streufaktoren O Cl K+K+ Cl -

24 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – atomare Streufaktoren Korrekturen des atomaren Streufaktors im Bereich von Resonanzen (Anregungen): -f‘ = Korrektur anomaler Absorption -f‘‘ = Korrektur anomaler Dispersion -anomale Effekte

25 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – atomare Streufaktoren X-rays

26 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – Periodizität/Symmetrie des Gitters -Friedel-Gesetz: gebeugte Intensitäten von reziproken Gitterpunkten mit positivem und negativem r* sind identisch (durch Inversionszentrum verbunden) mit Symmetrieoperator aus dem direkten Raum: Änderung der Phase, Amplitude ist konstant Strukturfaktoren bei pos. und neg. reziproken Gittervektor sind komplex Konjugierte (real) (imaginär)

27 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – Periodizität/Symmetrie des Gitters Konsequenzen: -Punktsymmetrie eines Objektes bleibt bei der Beugung erhalten  Punktgruppe des Beugungsbildes (= Laue-Klasse) ist zentrosymmetrische Grundbestandteil der Punktgruppe des Kristalls

28 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – Periodizität/Symmetrie des Gitters Konsequenzen: -Translationssymmetrie (Zentrierungen, Schraubenachsen, Gleitebenen) beeinflusst die Symmetrie des Beugungsbildes nicht, wohl aber systematische Abwesenheit von bestimmten Beugungsmaxima Ziel: Interpretation systematischer Abwesenheit von Reflexen bzgl. der Kristallsymmetrie

29 Kinematische Beugungstheorie Strukturfaktor – systematische Auslöschungen

30 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Profilfunktion (für Peakhöhe) GaussLorentz -einfach zu rechnen -gut beschrieben -EDX- und Neutronenbeugung -günstige Faltungseigenschaften -symmetrisch -einfach zu rechnen -Wichtung auf den Ausläufern -günstige Faltungseigenschaften -symmetrisch -instrumentelle Profile

31 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Profilfunktion (für Peakhöhe) pseudo-Voigt Pearson VII -Lorentz-Funktion der m-ten Potenz -kann verschiedene Peakformen beschreiben -einfacher zu rechnen als vergleichbare Funktionen -ausreichende Näherung der Voigt-Funktion -Linearkombination von Lorentz- und Gaussfunktion -kann verschiedene Peakformen beschreiben -etwas rechenintensiver als einfache Funktionen

32 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Debye-Waller-Faktor -Atome werden durch Phononen aus ihren eigentlichen Gitterpositionen ausgelenkt -Variation der Elektronendichteverteilung modifiziert das Streuvermögen der Atome -Schwingung kann isotrop (Vernachlässigung der Umgebung) oder ein Ellipsoid sein -nur bei T = 0, sollten Atome statisch im Gitter liegen -Zeitskala des Beugungsexperiments >> Zeitskala der atomaren Schwingung (zeitliches Mittel der Atomposition ausreichend) -Wenn isotrop angenommen: Gauss-Funktion beschreibt Aufenthaltswahrscheinlichkeit

33 Kinematische Beugungstheorie Kinematische Intensität – Debye-Waller-Faktor -Debye-Waller-Faktor: Fourier-Transformation der Wahrscheinlichkeit den Schwerpunkt eines schwingenden Atoms an einem bestimmten Ort anzutreffen (quadr. Mittel der Abweichung der akt. Position von der Gleichgewichtsposition) -ist reziprok abhängig von Atommasse + Bindungsstärke, direkt T-abhängig -Effekt: exponentielle Intensitätsabnahme hin zu großen Beugungswinkeln (Verteilung der Elektronendichte auf einen größeren Raum, damit sinkt das Streuvermögen) -Weitere Ursachen: -Alle Arten von Defekten, welche Atome aus ihren Gitterpositionen verschieben -Oberflächenrauhigkeit der Probe - darf nicht negativ sein!!! -Größenordnungen: 8  ²u² ~ 0.2 … 3.2 Ų (√(U) ~ 0.05 … 0.2 Å)


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