Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip

Präsentation zum Thema: "Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip"—  Präsentation transkript:

1 Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip

2 Zuordnung einer Wellenfunktion
( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

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4 Wir basteln uns ein Wellenpaket!
ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

5 Fouriertransformation
Für t=0 Wellenfunktion im Ortsraum Wellenfunktion im Impulsraum

6 Gauß‘sches Wellenpaket
g Breite des Wellenpakets , g=Dpx /2 Fouriertransformation

7 Je breiter die Impulsverteilung,
desto schmaler die Ortsverteilung und umgekehrt Heisenberg‘sche Unschärfe : Ebenso:

8 Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!
ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

9 Phasenfaktor: Werte des Integrals groß für Gruppengeschwindigkeit vg
Phasengeschwindigkeit

10 Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets
Taylorentwicklung

11 Wellenpakete x Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst

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13 im zweiatomigen Molekül
V(R) im zweiatomigen Molekül Idealisiert: Harmonischer Oszillator Überlagerung von äquidistanten Eigenzuständen Breite des Wellenpakets oszilliert Wellenpakete R V( R) R

14 Elektronenbeugung am Doppelspalt

15 Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen
Laserkühlung von zwei Hg Ionen Falle D1 D2 Laser beam z f Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment Spalte ersetzt durch zwei Ionen NIST,Boulder D. Wineland, 1993

16 Interferenz im Streulicht zweier Ionen
Ionenabstand: 5.4mm 4.3mm 3.7mm

17 Welcher Weg Experiment
Ion Ion2 m -½ 6p 6s Ion Ion2 6p 6s m -½ p = p s p s Itano et al, Phys.Rev. A 1998

18 Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen
Polarisationssensitive Detektion f z D2 D1 Falle Laser beam Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993 NIST,Boulder D. Wineland

19 Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung
Keine Welcher-Weg Information : Interferenz s) Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions: keine Interferenz

20 Linearer Chirp Lichtpuls kein “Chirp” dispersives Medium Lichtpuls mit negativem “Chirp” Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls

21 Chirp Crab nebula 6000 Lichtjahre entfernt Radiopulse
Staelin und Reifenstein 1968

22 Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit
Brehm’s Tierleben Der Kanarienvogel Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit

23 Zuordnung einer Wellenfunktion
( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

24 Zugehörige Wellengleichung
(Schrödingergleichung für ein freies Teilchen) 1 dim 3dim

25 (1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t)
Hamiltonoperator: Kinetische und potentielle Energie

26 (3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t)
Das ist fast schon alles!

27 Statistische Interpretation der Wellenfunktion
M. Born 1926 "for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954

28 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A>
=

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30 Hermetizität Für einen reellen Erwartungswert gilt: Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt mit Definition: Kommutator Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen

31 Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition
Zeitunabhängige Schrödingergleichung Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäre Lösungen der Form:

32 Energieeigenzustände
Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben. Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung. Kronecker Symbol Eigenfunktionen sind orthogonal

33 Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem
Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden Messung des Eigenwertes an

34 Dirac Schreibweise Damit schreibt sich die Projektion als Matrixelement

35 Kommutierende Observablen
Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B. Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. Beispiel: Ort und Impuls Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größte Anzahl kommutierender Observablen für ein Problem.

36 Eindimensionale Beispiele
Kastenpotential V(x)=0 für |x|<a V(x)=unendlich für x<-a und x>a für |x|<a Mit Randbedingungen folgt: Lösungen n=1,3,5... n=2,4,6...

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40 Eigenwerte n=1,2,3.. Bemerkungen Nullpunktsenergie von null verschieden Gerade und ungerade Funktionen Paritätsoperator

41 Eindimensionaler harmonischer Oszillator
Bedeutung in der Physik Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände, Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums im Minimum

42 und

43 Ansatz: Hn Hermite-Polynome folgen aus einem Potenzreihenansatz Lösungen´nur für e= 2n+1 Eigenwerte Eigenfunktionen

44 Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip?
Antwort folgt

45 Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz :
Drehimpuls klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten Operatoren Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz : L2 und Lz vertauschen mit H: Erhaltungsgrößen Eigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l) Kugelflächenfunktionen präzediert , daher keine Erhaltungsgröße

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47 Zentralpotentiale Potential V( r )

48 Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz
Separation

49 Radialgleichung mit Veff(r)