Dynamik komplexer Systeme

Präsentation zum Thema: "Dynamik komplexer Systeme"—  Präsentation transkript:

1 Dynamik komplexer Systeme
Fraktale

2 Dimensionen 0-dimensionale Menge 1-dimensionale Menge
Punkt endliche Punktwolke 1-dimensionale Menge Linie Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels 2-dimensionale Menge Fläche Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche 3-dimensionale Menge Volumen Raum, Kugelvolumen

3 Topologische Dimension
Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D. Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.

4 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius: N(R)  1 / R

5 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins: N(R)  1 / R1

6 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat: N(R)  1 / R2

7 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei: N(R)  1 / R3

8 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D: N(R)  1 / RD = RD Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.

9 How Long Is the West Coast of Britain
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

10 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D R [km] N(R) L(R) [km] 986,48 0,79 778,30 548,64 1,45 792,80 209,90 4, ,30 101,89 12, ,00 29,95 59, ,90 10, , ,30

11 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

12 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

13 How Long Is the West Coast of Britain
How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

14 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. Ausgangskonfiguration

15 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 1 Iteration

16 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 2 Iterationen

17 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 3 Iterationen

18 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 4 Iterationen

19 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 5 Iterationen

20 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 6 Iterationen

21 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration:
Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 7 Iterationen

22 Wie lang ist eine Koch-Kurve?
Ausgangssituation: z.B. 1 m nach 1 Iteration: 4/3 m nach 2 Iterationen: 16/9 m nach n Iterationen: (4/3)n m nach  Iterationen...  m 2 Iterationen

23 Selbstähnlichkeit Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge. Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich. Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur Die Westküste Britanniens ist statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften

24 Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension
Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen. Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung. Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m. Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k  N(R) Kugeln des Radius R/m. N(R/m) N(R/m) = k  N(R)  N(R)  RD N(R) =   RD  (R/m)D = k  RD  mD = k  D = log(k) / log(m)