1. 4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik von Prof. Dr. Dr

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1 1. 4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik von Prof. Dr. Dr
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp, TH Deggendorf

2 Gliederung Summenzeichen Produktzeichen
Binomialkoeffizient und Fakultät Logarithmus naturalis (ln)

3 1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik
Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist. Für je zwei Zahlen a, b  R ist also auch Addition a + b  IR Subtraktion a – b  IR Multiplikation a * b  IR Division (für b  0) a / b  IR

4 1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik
Regeln bezüglich der Vertauschbarkeit der Zahlen und der Klammermultiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) sind erfüllt. Gegeben sind die reellen Zahlen a, b, c . a + b = b + a a * b = b * a (a + b) + c = a + (b + c) (a * b) * c = a * (b * c) a + 0 = a a + (-a) = 0 a * 1 = a a * 1/a = 1 für alle Werte von a außer der Null. a * 0 = 0 a * (b + c) = a * b + a * c. (Distributivität)

5 Kap. 1.4 Beispiel Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)

6 Kap. 1.4 Aufgabe 1 Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich) [richtig]

7 Kap. 1.4 Aufgabe 1 Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich) [richtig]

8 Kap. 1.4 Aufgabe 1 Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich) [richtig] falsch

9 Kap. 1.4 Aufgabe 1 Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich) [richtig] falsch falsch

10 Kap. 1.4 Aufgabe 1 Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich) [richtig] falsch falsch Richtig

11 1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen
1.4.1 Das Summenzeichen (1.4.1) Definition Die Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form (sprich: Summe der ai, für i = m bis n).

12 1.4.1 Das Summenzeichen (1.4.1) Definition
Die Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form (sprich: Summe der ai, für i = m bis n). Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n  Z; m  n). Der Ausdruck stellt also eine Anweisung dar, die Summe der Zahlen ai zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft. Häufig tritt der Spezialfall einer Summe oder auf.

13 Beispiel a1=4, a2=7, a3=12, a4=18 Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe ai explizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen.

14 Faustregel: 1. unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B ; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=3 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe I=1 bis 4 von 3*i-1 2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5 also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand 2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i 3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)i realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass er erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3.-4 benötigt (-1)i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.

15 Beispiel:

16 Beispiel:

17 Beispiel:

18 Beispiel:

19 Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:
Beispiel: Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz: .

20 Beispiel:

21 Beispiel:

22 Beispiel: Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)i+1

23 Beispiel: Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen 4= 2*2 27=3*9=3*3*3 256=16*16=4*4*4*4 Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

24 Beispiel: Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen 4= 2*2 27=3*9=3*3*3 256=16*16=4*4*4*4 Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

25 Beispiel:

26 1.4.1 Das Summenzeichen Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln: (1.4.2) Satz a (c = const);

27 1.4.1 Das Summenzeichen Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln: (1.4.2) Satz (a) (c = const); (b) Ein Handelsunternehm,en hat 2 Filialen a und b und erzielt dort in einem Jahr die monatlichen Umsätze von ai und bi (i=1,…,12). Der gesamte Jahresumsatz berechnet sich aus

28 1.4.1 Das Summenzeichen Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln: (1.4.2) Satz (a) (c = const); (b) (c) (c  IR); (d) (m  k  n - 1); Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre

29 1.4.1 Das Summenzeichen Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln: (1.4.2) Satz (a) (c = const); (b) (c) (c  IR); (d) (m  k  n - 1); (e)

30 Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

31 Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

32 Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

33 Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe.
Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

34 Beispiel Doppelsumme Berechnen Sie die Doppelsummen:

35 Beispiel Doppelsumme Berechnen Sie die Doppelsummen:
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1* *1+3*1*1

36 Beispiel Doppelsumme Berechnen Sie die Doppelsummen:
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1* *1+3*1*1+ i=2 (j=0,1): 6*2+3*2* *2+3*2*1= =45

37 1.4.1 Das Summenzeichen (1.4.3) Definition
Gegeben seien die Zahlen a11, ..., amn  IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme: Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere: es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.

38 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.4) Definition
Das Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form (sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).

39 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.4) Definition
Das Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form (sprich: Produkt der ai, für i = m bis n). Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt (für n  N und a0 = 1) dar. Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir an als die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent.

40 Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens

41 Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen 8=2*2*2 27= 3*3*3 64=4*4*4 Formel lautet i^3

42 Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen 8=2*2*2 27= 3*3*3 64=4*4*4 Formel lautet i^3

43 Rechenregeln 𝑎⋅ 1 𝑎 =1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir nennen 1 𝑎 den Kehrwert von 𝑎. Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden. Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert: 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑥 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑏 ⋅ 𝑦 Der Kehrwert eines Bruchs 𝑥 𝑦 ist der Bruch 𝑦 𝑥 .

44 Rechenregeln Beispiel 1:

45 Rechenregeln Beispiel 1:

46 Rechenregeln 𝑎⋅ 1 𝑎 =1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir nennen 1 𝑎 den Kehrwert von 𝑎. Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden. Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert: 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑥 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑏 ⋅ 𝑦 Der Kehrwert eines Bruchs 𝑥 𝑦 ist der Bruch 𝑦 𝑥 .

47 Rechenregeln Beispiel 2:

48 Rechenregeln Beispiel 2:

49 Rechenregeln 𝑎⋅ 1 𝑎 =1für alle beliebigen Werte von 𝑎 außer der Null. Wir nennen 1 𝑎 den Kehrwert von 𝑎. Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden. Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert: 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑥 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑏 ⋅ 𝑦 Der Kehrwert eines Bruchs 𝑥 𝑦 ist der Bruch 𝑦 𝑥 .

50 Rechenregeln Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 1 mit dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 2 multipliziert: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑦 𝑥 . Kann man einen Bruch 𝑥 𝑦 mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 erhält, kann man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält 𝑎 𝑏 . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. 𝑏,𝑦,𝑐 ≠0 𝑢𝑛𝑑 𝑐≠1 . Es gilt dann also 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 = 𝑎 𝑏 . Brüche werden so addiert: Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁≠0 haben. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁: 𝑍 𝑁 . Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind. Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

51 Rechenregeln Beispiel 3:

52 Rechenregeln Beispiel 3:

53 Rechenregeln Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 1 mit dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 2 multipliziert: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑦 𝑥 . Kann man einen Bruch 𝑥 𝑦 mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 erhält, kann man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält 𝑎 𝑏 . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. 𝑏,𝑦,𝑐 ≠0 𝑢𝑛𝑑 𝑐≠1 . Es gilt dann also 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 = 𝑎 𝑏 . Brüche werden so addiert: Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁≠0 haben. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁: 𝑍 𝑁 . Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind. Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

54 Rechenregeln Beispiel 4:

55 Rechenregeln Beispiel 4:

56 Rechenregeln Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 1 mit dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 2 multipliziert: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑦 𝑥 . Kann man einen Bruch 𝑥 𝑦 mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 erhält, kann man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält 𝑎 𝑏 . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. 𝑏,𝑦,𝑐 ≠0 𝑢𝑛𝑑 𝑐≠1 . Es gilt dann also 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 = 𝑎 𝑏 . Brüche werden so addiert: Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁≠0 haben. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁: 𝑍 𝑁 . Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind. Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

57 Rechenregeln Beispiel 5:

58 Rechenregeln Beispiel 5:

59 Rechenregeln Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 1 mit dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 2 multipliziert: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑦 𝑥 . Kann man einen Bruch 𝑥 𝑦 mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 erhält, kann man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält 𝑎 𝑏 . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. 𝑏,𝑦,𝑐 ≠0 𝑢𝑛𝑑 𝑐≠1 . Es gilt dann also 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 = 𝑎 𝑏 . Brüche werden so addiert: Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁≠0 haben. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁: 𝑍 𝑁 . Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind. Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

60 Rechenregeln Beispiel 6:

61 Rechenregeln Beispiel 6:

62 Rechenregeln Zwei Brüche 𝑎 𝑏 und 𝑥 𝑦 𝑏,𝑦 ≠0 werden dividiert, indem man den Zählerbruch 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 1 mit dem Kehrwert des Nennerbruchs 𝑏𝑟𝑢𝑐ℎ 2 multipliziert: 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑦 𝑥 . Kann man einen Bruch 𝑥 𝑦 mit Hilfe eines Wertes 𝑐 so umformen, dass man 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 erhält, kann man den Bruch mit 𝑐 kürzen und erhält 𝑎 𝑏 . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. 𝑏,𝑦,𝑐 ≠0 𝑢𝑛𝑑 𝑐≠1 . Es gilt dann also 𝑥 𝑦 = 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 = 𝑎 𝑏 . Brüche werden so addiert: Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so umgeformt, dass sie den gleichen Nenner 𝑁 𝑁≠0 haben. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe 𝑍. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe 𝑍 und im Nenner der gleichnamige Ausdruck 𝑁: 𝑍 𝑁 . Eine Potenz ist ein Term, der in der Form 𝑥 𝑎 dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind. Bei ungeradzahligem𝑛 𝑛 ∈ ℕ kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

63 Rechenregeln Beispiel 7:

64 Rechenregeln Beispiel 7:

65 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt:

66 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; 23*24= 8*16=128 23+4= 27=128

67 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m;

68 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (23)4= 212=

69 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (23)4=84=4096 212=4096

70 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (c) für a  0;

71 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (c) für a  0; (d) für a  0; 23/24=8/16=1/2 23-4=1/2

72 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (c) für a  0; (d) für a  0; (e) anbn = (ab)n. 23/24=8/16=1/2 23-4=1/2 22*32= (2*3)2=

73 1.4.2 Das Produktzeichen (1.4.5) Satz
Es seien a,b  IR und n, m  Z. Dann gilt: (a) an * am = an+m; (b) (an)m = an*m; (c) für a  0; (d) für a  0; (e) anbn = (ab)n (f) a m/n = 23/24=8/16=1/2 23-4=1/2 22*32=4*9= 36 (2*3)2=62=36

74 Quadratische Gleichung
ax² + bx + c = 0 mit a, b, c  IR und a  0 Es gibt hierbei zwei Lösungen x1 und x2 falls b² - 4ac  0 Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert keine reellwertige Lösung.

75 Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:
x² - 4x + 3 = 0 

76 1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.6) Definition Seien n, k  N  {0} mit k  n. Dann setzen wir (a) und 0! = 1 (sprich: n- Fakultät); n! ist die Anzahl der möglichen Anordnungen

77 1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.6) Definition Seien n, k  N  {0} mit k  n. Dann setzen wir (a) und 0! = 1 (sprich: n- Fakultät); (b) (sprich: n über k). Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten. Binomialkoeffizient n über k ist Anzahl der k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge.

78 Beispiele 0! = 1! = 2! = 3! = 4! = 71!=

79 Beispiele 0! = 1 1! = 2! = 3! = 4! = 71!=

80 Beispiele 0! = 1 1! = 1 2! = 3! = 4! = 71!=

81 Beispiele 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 4! = 71!=

82 Beispiele 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 71!=

83 Beispiele 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 71!=

84 Beispiele 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl).

85 Beispiele:

86 Beispiele:

87 Beispiele:

88 1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.7) Satz Für die Zahlen n, k  N mit k  n gilt: 1. (n + 1)! = (n + 1) * n!  4! = 4*3! 2. 3.

89 Beispiel: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

90 Beispiel: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

91 Beispiel: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

92 Beispiel: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

93 1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.8) Satz Seien a, b  IR und n  N. Dann gilt:

94 Beispiel

95 Beispiel

96 Beispiel

97 Beispiel

98 Beispiel

99 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden. Einführungsbeispiel: Betrachten wir die Gleichung 5 𝑥 =125. Wir suchen den Wert x der die Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als 5 ? =125. Die kleine Kopfrechnung 1⋅5=5; 5⋅5=25; 5⋅5⋅5=125verrät uns, dass 5 3 =125ist. Wir können die Lösung so hinschreiben log 5 125=3und so sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 5 von 125 ist 3“. Es sind die beiden Aussagen 5 3 =125 und log 5 125=3 äquivalent, was „gleichwertig“ heißt. „Der Logarithmus zur Basis a von x ist y.“ Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung 𝑎 𝑥 =𝑦 ergibt: 𝑎 ? =𝑦.

100 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Beispiele: 4 ? =64 →  4 3 =64 also log 4 64=3 Spezieller Logarithmus zur Basis e, wobei diese die eulersche Zahl 𝑒≈2,72ist. 𝑦= 𝑒 𝑥 ⇔ log 𝑒 𝑦=𝑥.=ln y Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine Kurzschreibweise ist lny. Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist. So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen.

101 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Rechenregeln für Logarithmen Die Rechenregeln gelten für alle Basen e. • Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert. • ln 1=0 • ln (y*z)=ln y + ln z Wir interessieren uns für ln(5⋅30 . Es ist ln(5⋅30)=ln150=5,01 oder aber mit ln5=1,61und ln30=3,40: ln(5⋅30)=ln5+ln30=1,61+3,40=5,01. • ln(y/x) = ln(y)- ln(x)

102 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Beispiel: Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=3,178. ln(528/22)=ln 528-ln 22=6,27-3,09=3,178 ln (1/y)= -ln y ln zb= b ln z ln 153=ln 3375 = 3,5283 3 ln 15=3*1,1761=3,5283 Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann, ist ln ex =x

103 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Beispiele: ln 𝑒 20 =20. e ln x 2 = x 2 . ln 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 = ln 𝑒 𝑥 − ln 𝑒 𝑦 =𝑥−𝑦. ln( 𝑒 2𝑥 ⋅ 𝑒 11 )=ln 𝑒 2𝑥 +ln 𝑒 11 =2𝑥+11. Wir wollen ln( 𝑒 3 ⋅5)−3ln 𝑒 4−3 ⋅ln 1 𝑒 𝑥−3 vereinfachen und gehen in mehreren Schritten vor: ln( 𝑒 3 ⋅5)−3ln 𝑒 4−3 ⋅ln 1 𝑒 𝑥−3 =ln 𝑒 3 +ln5−3ln 𝑒 1 ⋅ln 𝑒 −(𝑥−3 =3ln𝑒+ln5−3ln 𝑒 1 ⋅(−(𝑥−3))ln 𝑒 1 =3+ln5−3⋅(−(𝑥−3) =3+ln5−3⋅(−𝑥+3)=3+ln5+3𝑥−9 =3𝑥+ln5−6=3𝑥+1,61−6=3𝑥−4,39.

104 1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)
Wir beachten: Der Ausdruck ln𝑒bedeutet nichtln*e, sondern er bedeutet ln(e), also der Logarithmus von e. Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y) dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das manchmal unbefriedigend erscheint. ln(x+y)<>ln(x)+ln(y)

105 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition Gegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.

106 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition Gegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation. Beispiel: drei Elemente a,b,c abc,bac,cab,acb,bca,cba

107 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition Gegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation. (1.4.10) Satz (a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!

108 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition Gegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation. (1.4.10) Satz (a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n! Beispiel: Elemente a,b,a; zwei Gruppen a (n1=2), b (n1=1) aab,aba,baa

109 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) Definition Gegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser n Elemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation. (1.4.10) Satz (a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n! (b) Für n Elemente, die aus r Gruppen zu je n1, ..., nr (n = n nr) gleichen Elementen bestehen, beträgt die Anzahl der Permutationen

110 Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.

111 Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden. 8! =

112 Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile
angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden. 8! = Es ergeben sich somit unterschiedliche Reihenfolgen für die Durchführung der Produktion.

113 Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen
soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.

114 Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen
soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden. Es gibt hierbei also Gruppen von je 3, 5 und 2 gleichen Wagen, so dass sich insgesamt verschiedene Arten der Zusammenstellung ergeben.

115 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.11) Definition Jede Zusammenstellung von k Elementen aus n gegebenen Elementen bezeichnet man als eine Kombination der k- ten Ordnung. Die Anzahl der Kombinationen hängt natürlich davon ab, ob es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt oder ob alle Elemente verschieden sein müssen. (1.4.12) Definition (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung) Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung: n*(n -1)*(n - 2)* ... * (n - k + 1) =

116 Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen
Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.

117 Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen
Vorsitzenden und seinen Stellvertreter. Da es hierbei auf die Reihenfolge ankommt und kein Mitglied beide Funktionen gleichzeitig ausüben kann, gibt es verschiedene Besetzungsmöglichkeiten.

118 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung

119 Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.

120 Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist. Es gibt deshalb dafür

121 Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist. Es gibt deshalb dafür = Möglichkeiten. Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur

122 Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6
anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist. Es gibt deshalb dafür = Möglichkeiten. Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur =

123 1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung (1.4.14) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und Wiederholung) Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mit Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen nk. (1.4.15) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung) Anordnung und mit Wiederholung

124 Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen
verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des gleichen Fabrikats stattfinden.

125 Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen
verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des gleichen Fabrikats stattfinden. Da es hierbei nicht auf die Reihenfolge ankommt und Wiederholungen zugelassen sind, muss jeder Tester insgesamt Hörvergleiche durchführen.