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Wiederholung: Ziehen von Elementen geordnet ungeordnet mit Zurücklegen ohne Zurücklegen Ziehen von k Elementen aus n-elementiger Menge TexPoint fonts used.

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1 Wiederholung: Ziehen von Elementen geordnet ungeordnet mit Zurücklegen ohne Zurücklegen Ziehen von k Elementen aus n-elementiger Menge TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A A

2 Wiederholung: Beweisprinzipien Summenregel Produktregel Gleichheitsregel

3 Wiederholung: Beweisprinzipien Doppeltes Abzählen Schubfachprinzip Sei f: X ! Y. Dann gibt es ein y 2 Y mit |f -1 (y)| ¸ d |X|/|Y| e. Inklusion-Exklusion

4 Permutationen Def: Eine Fkt. f: A ! A ist eine Permutation, f ist bijektiv. Schreibweise: Semantik: ¼ (1)=2, ¼ (2)=3, ¼ (3)=1, ¼ (4)=5, ¼ (5)=4. Bei fester Anordnung von a 1, …, a n würde genügen ( ¼ (a 1 ), ¼ (a 2 ), …, ¼ (a n )) Vorsicht: Verwechslungsgefahr mit Zyklenschreibweise.

5 Fixpunkte einer Permutation Permutationen auf [n]: Symmetrische Gruppe G n Größe der Symmetrischen Gruppe | G n |=n! Beispiel Permutation Def: i ist Fixpunkt von ¼, ¼ (i)=i. 2 und 5 sind Fixpunkte von ¼.

6 Fixpunktfreie Permutationen Def: Permutation ¼ n : [n] ! [n] fixpunktfrei, ¼ n (i) i 8 i 2 [n] Bestimme Anzahl D n fixpunktfreier ¼ n (Derangementzahl). Anzahl aller Permutationen ¼ n : n! Sei ³ n die Anzahl Permutationen mit mindestens einem Fixpunkt. ) D n = n! - ³ n Sei A i die Menge der Bijektionen mit ¼ n (i)=i.

7 Derangementzahl D n Größe der Schnittmenge: Alle ¼ : [n] ! [n] mit ¼ (i j ) = i j für j=1,…,r Alle anderen n-r Elemente dürfen beliebig abgebildet werden: (n-r)! Möglichkeiten. Entspricht Permutationen der Menge [n] n {i 1, …, i r }.

8 Zyklen von Permutationen Bsp.: ¼ : [7] ) [7], ¼ (1)=2, ¼ (2)=3, ¼ (3) = 5, ¼ (5)=1, d.h. Zykel der Länge 4. Def: (i 1,...,i t ) ist Zyklus der Länge t von ¼, ¼ (i j ) = i j+1 für 1 · j < t und ¼ (i t ) = i 1 Notation (1235) Beachte: (1235) = (2351) = (3512) = (5123) Hingegen gilt:(1235) (2135) Weitere Zyklen: (47) und (6). Insgesamt: ¼ = (1235)(47)(6).

9 Stirlingzahl erster Art Def.: Die Stirlingzahl erster Art s n,k bezeichne die Anzahl von Permutationen ¼ n mit genau k Zyklen. s n,k = 0 für n

10 Berechnung der ersten Stirlingzahl Satz: Für alle k, n 2 N gilt: s n,k = s n-1,k-1 + (n-1)*s n-1,k Konstruktieren aus ¼ n-1 eine Permutation ¼ n Entweder ¼ n-1 hat k-1 Zykel: Hinzufügen von Zykel (n): s n-1,k-1 Möglichkeiten für ¼ n-1 Oder ¼ n-1 hat k Zykel: Einfügen von n in einen Zykel: n kann an n-1 Positionen eingefügt werden. Satz folgt aus Summenregel.

11 Beispielkonstruktion: Einfügen von 4 Betrachten s 4,2 1 Zykel über [3] + 1 Zykel (4) (123)(4), (132)(4) 2 Zykel über [3] + Einfügen von (4) (12)(3): (412)(3), (142)(3), (12)(43) (13)(2): (413)(2), (143)(2), (13)(42) (1)(23): (41)(23), (1)(423), (1)(243) Insgesamt: s 4,2 =11 ´

12 Stirling-Dreieck erster Art s n,k = s n-1,k-1 + (n-1)*s n-1,k n=01 n=10´1 n=2011 n=30231 n= n=

13 Berechnung von Teilmengen Satz: Beweis: Korollar aus Binomischem Lehrsatz: Oder kombinatorisch: Sei M Menge mit |M|=n | P (M)| = 2 n. k-elementige Teilmengen von M: Potenzmenge: Summe über alle k-Teilmengen, k=0,…,n Anwendung von Summenregel

14 Rekursive Berechnung von Binomialkoeffizienten Satz: Für alle n,k 2 N mit n>k gilt: Partitionieren k-elementige Teilmengen von [n] Teilmenge enthält n mit k-1 Elemente aus [n-1]: Möglichkeiten Teilmenge enthält n nicht. Möglichkeiten Anwendung von Summenregel

15 Pascalsches Dreieck n=01 n=11´1 n=2121 n=31331 n= n=

16 Vandermondesche Identität Satz: Für alle k, m, n 2 N 0 gilt: Sei M={1,2,…,n+m}. Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von M ist. Partitioniere M in M 1 ={1,…,n} und M 2 ={n+1,…,n+m}. k-elementige Teilmengen bestehen aus: den t-elementigen Teilmengen von M 1 kombiniert mit den (k-t)-elementigen Teilmengen von M 2 für t=0,…,k.

17 k-Partition, Sterlingzahl zweiter Art Def: Sei A={a 1,…,a n }. Eine k-Partition von A ist eine Zerlegung von A in paarweise disjunkte Teilmengen A 1,…,A k mit A= k i=1 A i. Def: Wir bezeichnen mit S n,k die Anzahl von k- Partitionen einer n-elementigen Menge. S n,k heisst auch die Sterlingzahl zweiter Art. S n,k = 0 für n

18 Rekursive Berechnung von S k,n Satz: Für alle k, n 2 N mit n ¸ k gilt: S n,k = S n-1,k-1 + k*S n-1,k. Teilen k Partitionen in zwei Klassen auf: a n befindet sich allein in einer Menge A i. a 1,…,a n-1 befinden sich in (k-1)-Partition S n-1,k-1 Möglichkeiten a n befindet sich in nicht allein in einer Menge. a n ist in einer der k Menge, die eine k-Partition von {a 1,…,a n-1 } bilden. k*S n-1,k Möglichkeiten Anwendung der Summenregel auf beide Klassen

19 Beispiel S 4,2 Element 4 ist in Einzelmenge: {1,2,3} [ {4} Element 4 ist in einer der 2-Partitionen von {1,2,3} {1,2} [ {3}: {1,2,4} [ {3}, {1,2} [ {3,4} {1,3} [ {2}: {1,3,4} [ {2}, {1,3} [ {2,4} {1} [ {2,3}: {1,4} [ {2,3}, {1} [ {2,3,4}

20 Stirling Dreieck zweiter Art n=01 n=10´1 n=2011 n=30131 n= n= S n,k = S n-1,k-1 + k*S n-1,k

21 Bellzahlen Stirlingzahlen S n,k 2.Art: Partition in k feste Klassen Bellzahlen B n : Partition in beliebige Anzahl Klassen B n := n k=0 S n,k B n entsprechen Zeilensummen im Stirlingdreieck zweiter Art

22 Zahlpartitionen, geordnet Anzahl der geordneten k-Zahlpartionen von n 2 N : Anzahl Möglichkeiten, n als Summe k positiver natürlicher Zahlen zu schreiben z.B. 5 geordnete 3-Zahlpartitionen der Zahl 5: 1+1+3, 1+3+1, 3+1+1, 1+2+2, 2+1+2, Idee: Schreibe jede Zahl als Summe von Einsen: 5 = Wähle k-1 aus den n-1 Pluszeichen als Trennzeichen aus: 5 = = Anzahl der geordneten k-Partitionen:

23 Zahlpartitionen, ungeordnet Ungeordnete k-Zahlpartition P n,k von n: Kommt nur auf die Summanden an, nicht auf die Reihenfolge: 3+2 ist dieselbe Partition wie 2+3. P n,k = 0 für k>n P n,0 = 0 P 0,0 := 1

24 Zahlpartitionen, ungeordnet Satz: Für die Anzahl ungeordneter k-Zahlpartitionen P n,k einer Zahl n gilt für alle k,n 2 N mit k>n: P n+k,k = k j=1 P n,j Idee: Zerlege n+k in i 1-Summanden und k-i Summanden n i ¸ 2: n+k = 1+1+…+1 + n i+1 +…+n k mit n j ¸ 2 für j=i+1,…,k Subtrahiere 1 von jedem Summanden n = n i+1 +…+n k mit n j ¸ 2 für j=i+1,…,k D.h. n j sind (k-i)-Zahlpartition von n Umgekehrt: (k-i)-Zahlpartition von n liefert k-Zahlpartition von n+k mit genau i Einsen (bijektive Abbildung) Gleichheitsregel: P n+k,k mit i Einsen = P n,k-i Summenregel: P n+k,k = i=0 k-1 P n,k-i = j=1 k P n,j

25 Bsp: Zählen von Lösungen Bestimme |{(x 1,x 2,…,x k ) 2 N 0 k | x 1 +x 2 +…+x k = n}| Addiere zu jedem der k Summanden eine Eins: x 1 +x 2 +…+x k = n+k mit x i ¸ 1. Entspricht Anzahl der geordneten k-Zahlpartionen von n+k: Für allgemeine Polynome ist das Bestimmen der Anzahl der Lösungen ein schweres Problem.

26 Zusammenfassung Permutationen Fixpunkte, Derangementzahl Zyklen, Stirlingzahl s n,k erster Art Stirlingdreieck 1. Art Teilmengen Rekursive Berechnung der Binomialkoeffizienten Pascalsches Dreieck k-Partition, Stirlingzahl S n,k zweiter Art Stirlingdreieck 2. Art Bellzahlen Zahlpartitionen geordnet ungeordnet P n,k


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