Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Ziele Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich geringe Abweichungen häufiger als große Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist symmetrisch Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit Wendepunkt auf beiden Seiten beidseitig asymptotische Annäherung an Null Weitere Untersuchung durch Gauß  Normalverteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) Bedingung: oder in Matrizenschreibweise Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastisches Modell a priori Die Gewichtsmatrix Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix Für einen Beobachtungsvektor: Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Festlegung von Gewichten (1) Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priori oder Varianzfaktor Kofaktormatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Festlegung von Gewichten (2) Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix Festlegung geschieht vor der Messung  a priori Varianzen Varianz der Gewichtseinheit a priori stochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell (1) n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an: Ausgeglichene Beobachtungen Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell (2) Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X0 Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektor x Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Beziehungen (ursprüngliches) funktionales Modell Widerspruchsvektor genäherter Beobachtungsvektor gekürzter Beobachtungsvektor ‚gemessen minus gerechnet‘ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearisiertes funktionales Modell Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L Linearisierung über Taylor-Entwicklung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Jacobi-Matrix Modellmatrix (Designmatrix) A Matrix B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Funktionales Modell Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (1) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Lösung mit Lagrange‘schen Vektoren Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: Gleich Null setzen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (3) Ableitung nach x analog und es ergibt sich: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (4) Gemeinsames Gleichungssystem: Auflösung durch Inversion: Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Hauptprobe Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und L sind Annahme muss überprüft werden! Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem Wenn nicht genügend genau erfüllt? Näherungswerte nicht gut genug Funktionales Modell fehlerhaft Rechenfehler Iteration Neu aufstellen Geprüfte Programme verwenden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Fehler im funktionalen Modell Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Iterative Ausgleichung Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet L, SLL und B bleiben erhalten A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Sonderfälle In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Gleichungen explizit nach Li auflösbar n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Funktionales Modell Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: bzw. Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Gewichtsmatrix Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu Somit erhalten wir dieselbe Gewichts-matrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lösung Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu Die Auflösung ergibt Normalgleichungsmatrix  Verbesserungen: Ausgeglichene Beobachtungen: Normalgleichung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke) A-Matrix ist ein 1-Vektor Auflösung: Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung bedingter Beobachtungen Keine unbekannten Parameter n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Funktionales Modell Widerspruchsvektor: Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also Korrelaten: Verbesserungen: Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lösungsansätze Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Wann Ausgleichungsproblem? nfvb = n – u + nb Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 Somit: n + nb > u Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Funktionales Modell Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung und die Bedingungen Getrennte Betrachtung der beiden Teile: Beobachtungen Bedingungen Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen  B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lösung (1) Methode von Langrange: Differenziert und gleich Null gesetzt: Einsetzen von gibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Lösung (2) 1. Gleichung: Kombiniert mit 2. Gleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung bedingter Beobacht-ungen mit Unbekannten Entspricht dem Allgemeinfall der Aus-gleichungsrechnung n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u Lösung: siehe Allgemeinfall Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastisches Modell a posteriori a posteriori: nach der Ausgleichung Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix Kovarianzfortpflanzungsgesetz ange-wendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt Kofaktorfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) gekürzter Beobachtungsvektor: Ausgeglichene Beobachtungen aus Somit gilt: Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Und weiters: Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Probe Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) Im stochastischen Modell s02 herausge-hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten Somit Übergang auf relative Genauigkeits-angaben (ausreichend für Gewichtung) Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. Gesucht: Kovarianzmatrizen Multiplikation mit Varianz der Gewichts-einheit a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2) Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt  auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori z.B. Varianz einer Funktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Zusammenfassung Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft aufwändige Rechnung bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil