Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile Statistik: 17.3.04 Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile

Schließende Statistik oder Statistische Inferenz: Rückschluss aus den Ergebnissen einer Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit oder ihre Parameter (m, p, etc.) Das Schätzen von Parametern: für den unbekann-ten Wert eines Parameters (m, p, etc.) ist zu bestimmen ein numerischer Wert (Punktschätzer) oder ein Intervall, in dem der unbekannte Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit enthalten ist (Konfidenzintervall) Entscheidung zwischen Behauptungen (Hypothesen) 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel A: Abfüllmenge Der unbekannte Mittelwert μ der Füllmenge soll geschätzt werden Stichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5. Punktschätzer für μ ist Konfidenzintervall für μ: ± c. Testen von H0: μ = 126.4 gegen H1: μ > 126.4 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel B: Anteil der Berufstätigen unter Studierenden Anteil θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p = 32% Punktschätzer für θ ist p = 0.32 Konfidenzintervall p ± c Testen die Nullhypothese H0: θ = 0.20 gegen H1: µ > 0.20 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Stichprobenverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und p sind Basis von statistischen Entscheidungsverfahren Zentraler Grenzwertsatz 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Stichprobenmittelwert Grundgesamtheit: X mit (beliebiger) Verteilung,  und . Stichprobenmittelwert : Mittelwert von ist  Standardabweichung (Standardfehler, standard error) von ist StdAbw( ) = /n Für nicht zu kleines n: ist näherungsweise normalverteilt 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Konfidenzintervall für μ Konfidenzintervall zur Konfidenzzahl γ Mit γ = 0.95 c = 2/n genauer: c = 1.96 /n 99.7%-iges KI: ± 3 /n 90%-iges KI: ± 1.645 /n 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel A: Abfüllmenge Stichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5. Punktschätzer für μ ist = 126.7 95%-iges Konfidenzintervall für μ : Einsetzen gibt oder: 126.5 ≤ m ≤ 126.9 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Konfidenzintervall: Wahl von c Näherungsweise gilt Wahl von c0 so, dass oder Aus folgt und das 0.975-Perzentil c0 = 1.96 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

100g%iges Konfidenzintervall für μ Symmetrisches Intervall um so, dass 100g% aller so konstruierten Intervalle das wahre m enthalten 0.90 1.645 0.95 1.96 0.99 2.58 Wahl von z für gegebenes g : 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Wahl des Stichprobenumfanges Halbe Länge c des Konfidenzintervalls hängt ab von n, g und s Bei Vorgabe von c und g kann n berechnet werden: n =(z(1+g)/2σ/c)2 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Unbekanntes s Verwendung der t -Verteilung statt der standardisierten Normalverteilung Student‘sche t -Verteilung: hat einen Parameter (n-1), die „Zahl der Freiheitsgrade“ tabelliert, in EXCEL: Funktionen TVERT, TINV symmetrisch, glockenförmig für wachsendes n der Normalverteilung immer ähnlicher 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

t -Verteilung: Perzentile p-Quantile der t -Verteilung für wachsende Zahl der Freiheitsgrade und der Normalverteilung p t(2) t(10) t(20) t(30) t(100) N(0,1) 0.95 2.920 1.812 1.725 1.697 1.660 1.645 0.975 4.303 2.228 2.086 2.042 1.984 1.96 0.995 9.925 3.169 2.845 2.750 2.626 2.58 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Test für μ Verfahren Lege die Nullhypothese H0 (μ = μ0) und die Alternative H1 fest Wähle den maximal tolerierten p-Wert (probability value), d.i. die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen (das Signifikanzniveau, auch mit  bezeichnet); z.B. 0.05 Ziehe die Stichprobe, berechne Berechne den p-Wert Verwerfe H0, wenn der p -Wert kleiner als  ist 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel A: Abfüllmenge Nullhypothese H0: μ = 125g Alternative H1: μ > 125g Die Entscheidung soll für a = 0.05 getroffen werden Stichprobe (n = 9): = 126.0, s = 1.5 Wir verwerfen H0! 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Testen von Hypothesen Methode, auf Basis einer Zufallsstichprobe eine Entscheidung zwischen zwei Behauptungen (Vermutungen) zu treffen Nullhypothese H0: ist jene Vermutung, über die entschieden werden soll (z.B. m = 125) Alternativhypothese: eine konkurrierende Vermutung p -Wert: Wahrscheinlichkeit, den erhaltenen oder einen noch extremeren Wert für die Teststatistik zu erhalten, wenn H0 zutrifft; ein Maß für die Glaubwürdigkeit von H0 Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (a-Fehler): richtige H0 wird nicht akzeptiert; der p -Wert ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Fehler zu begehen Fehler 2. Art: zutreffende Alternativhypothese wird nicht akzeptiert Signifikanzniveau a: maximal tolerierter p -Wert 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Wahl der Alternativhypothese Das, was ich „beweisen“ möchte Beispiel: Abfüllmenge; H0: m=125g Konsumentenschützer möchte erkennen, wenn m<125g; er möchte ziemlich sicher sein, dass er recht hat, wenn er „m<125g“behauptet Test mit Signifikanzniveau a=0.05: er irrt höchstens in 5 von 100 Entscheidungen Analog: Produzent möchte erkennen, wenn m>125g oder wenn m≠125g 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Inferenz bei Anteilen Schätzwert für Anteil aus Stichprobe (Umfang n): relative Häufigkeit pn Stichprobenverteilung von pn (Zentraler Grenzwert-satz): mit Faustregel für „großes n'': n q > 5, n (1-q) > 5 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

100g%iges Konfidenzintervall für q Symmetrisches Intervall um pn so, dass 100g% aller so konstruierten Intervalle das wahre q enthalten Wahl von z für gegebenes g : 0.90 1.645 0.95 1.96 0.99 2.58 In sp ist q durch pn zu ersetzen! 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel B: Berufstätige Anteil der Berufstätigen unter den Studierenden θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p200 = 32% Punktschätzer für θ ist p = 0.32 95%-iges Konfidenzintervall für θ : oder: 0.255 ≤ θ ≤ 0.385 Achtung! nθ ≈ 200 (0.32) = 64 > 5, n(1-θ) ≈ 200 (0.68) = 136 > 5 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)

Beispiel B: Berufstätige Nullhypothese H0: θ = 30% Alternative H1: μ > 30% Die Entscheidung soll für a = 0.05 getroffen werden Stichprobe (n = 200): p200 = 0.32 Wir verwerfen H0 nicht! Beachten Sie! 17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8)