3.1 Gates und boolesche Algebra © Béat Hirsbrunner, University of Fribourg, Switzerland 10. Oktober 2007 3.1 Gates und boolesche Algebra 3.1.1 Gates (1/3) Transistor (Inverter) Vin Vout Vin Vout 5 Vin < Vkritisch : Widerstand Vin > Vkritisch : Leiter (Draht) => Vout = Vcc (häufig +5 Volt) 0 (null Volt gemäss Konvention) nfnfdnfnfn
3.1.1 Gates (2/3) Beispiele Vin Vout 1 V1 V2 Vout 1 V1 V2 Vout 1 1 1 Elementare digitale Schaltungen nennt man Gates Vin Vout 1 V1 V2 Vout 1 V1 V2 Vout 1 1 1 Inverter Gate Hint: Vin = 0 : Widerstand Vin = 1 : Leiter (Draht) NAND Gate NOR Gate nfnfdnfnfn
3.1.1 Gates (3/3) nfnfdnfnfn
3.1.2 Boolesche Algebra Beispiel: Mehrheitsfunktion M = f(A,B,C) Definition M = 0 falls die Mehrheit der Eingänge 0 ist; sonst ist M = 1. Drei Darstellungen Wahrheitstabelle Kompakte Wahrheitstabelle: M = ABC + ABC + ABC + ABC Schaltung nfnfdnfnfn
3.1.3 Implementierung von booleschen Funktionen Schreibe die Wahrheitstabelle für die Funktion Erstelle Inverter, um das Komplement für jeden Eingang zu erzeugen Zeichne ein AND-Gate für jeden Term, mit einer 1 in der Ergebnissspalte Verdrahte die AND-Gates mit den entsprechenden Eingängen Speise den Ausgang aller AND-Gates in ein OR-Gates D.h. es gibt immer eine Lösung mit NOT-, AND- und OR-Gates !!! Es gibt aber optimalere Lösungen: z.B. A*B + A*C vs A * (B + C) [Hint: 3 vs 2 Schaltungen] nfnfdnfnfn
3.1.4 Schaltungsäquivalenz (1/3) Lemma 1. Jede boolesche Funktion kann mit NOT-, AND- und OR-Gates berechnet werden (Normalform genannt). (Beweis: cf. Fig. 3-3) Lemma 2. Jede boolesche Funktion kann mit (a) NAND- (b) NOR- Gates berechnet werden ! (Beweis: Folgt aus Lemma 1 und Figur 3-4) Lemma 3. Jede boolesche Funktion kann mit (a) NOT- und AND- (b) NOT- und OR- Gates berechnet werden ! (Beweis: Folgt aus Lemma 1 und De Morgansche Gleichungen, cf. Fig. 3-6) nfnfdnfnfn
3.1.4 Schaltungsäquivalenz (2/3) Welche Lösung lässt sich technisch effizienter realisieren ? nfnfdnfnfn
3.1.4 Schaltungsäquivalenz (3/3) nfnfdnfnfn