Technische Informatik I Vorlesung 3: Bool'sche Algebra Mirco Hilbert Universität Bielefeld Technische Fakultät.

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1 Technische Informatik I Vorlesung 3: Bool'sche Algebra Mirco Hilbert mail@Mirco-Hilbert.de Universität Bielefeld Technische Fakultät

2 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra2 Übersicht Bool'sche Algebra Operatoren und Eigenschaften Schaltzeichen Wertetabellen Bearbeitung durch algebraische Gleichungen Schaltfunktionen einfache Schaltnetze Normalformen disjunktive Normalform konjunktive Normalform

3 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra3 Informationsrepräsentation Informationen wie Buchstaben und Zahlen können als Summe von Faktoren mit fester Basis dargestellt werden Diese Informations-Repräsentation wird physikalisch realisiert. Also wird folgendes erwünscht: Die Verarbeitung der physikalischen Repräsentation sei identisch mit der Umformung der logischen Repräsentation Zu jedem Zeitpunkt existiert eine eineindeutige Abbildung zwischen logischer und physikalischer Repräsentation

4 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra4 Mögliche physikalische Repräsentationen Verschiedene physikalische Repräsentationen sind denkbar: Stärke eines hydraulischen oder elektrischen Stroms Farbe, Intensität oder Phasenlage von Licht stufenlos veränderbare Spannungspegel drei diskrete Spannungspegel (3-wertige Logik): negative / keine / positive Spannung zwei diskrete Spannungspegel (2-wertige binäre Logik): Spannung / keine Spannung

5 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra5 Heutiger Stand der Technik binäre Basis, d.h. Darstellung durch die Menge der bool'schen Werte 2 = {0, 1} Info-Repräsentation durch Binärwörter. Ein Binärwort der Länge n ist ein Element von exp(2, n) = 2 x 2 x.... x 2 = {0,1} x {0,1} x... x {0,1} Sequenz/Tupel von 0 und 1, Länge n

6 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra6 Heutige Stand der Technik Elektrische Info-Verarbeitung durch Funktionen auf Binärwörtern (Bool'sche Funktionen, Schaltfunktionen) Schaltnetze als Realisierung (physikalische Repräsentation) logischer Schaltfunktionen

7 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra7 Bool'sche Algebra Definition (Binäre Bool'sche Algebra) Ein algebraisches System (2,,, ) (logisches UND ) binäre Funktion (logisches ODER ) binäre Funktion (logisches Komplement, NICHT ) unäre Fkt Wertebereich {0,1} Funktionen definierbar durch Tabellen, wie folgt

8 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra8 Bool'sche Algebra Wertebereich {0, 1} Unäre Funktion definiert durch f(0) = ?? f(1) = ?? Binäre Funkion definiert durch g(0,0) = ?? g(0,1) = ?? g(1,0) = ?? g(1,1) = ??

9 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra9 Bool'sche Algebra Wir schreiben in Präfix-Notation: a oder a Wir schreiben und in Infix-Notation: Statt (a,b) schreiben wir (a b) Das gleiche für Funktionen also definiert, wie folgt: 0 = 1 1 = 0 0 0 = 01 1 = 1 0 1 = 1 0 = 0 0 0 = 0 1 1 = 1 1 0 = 0 1 = 1

10 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra10 Schaltzeichen alte Norm neue Norm amerikanische Norm UND ( AND ) ODER ( OR ) NICHT ( NOT )

11 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra11 Bool'sche Funktionen bool'sche Funktionen Wertetabellen

12 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra12 Boolsche Basis-Operatoren I Theorem: Alle binäre bool ' schen Funktionen sind eine Komposition der beiden Basis-Operatoren und ; bzw. und Beweis: Es gibt 16 binäre Bfnen (siehe unten). Man schreibt die Kompositionen, wie gewünscht. Beispiel: Nach dem Gesetz von DE MORGAN läßt sich ausdrücken durch: a b = ( a b) Ebenso läßt sich ausdrücken durch: a b = ( a b)

13 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra13 Bool'sche Gleichungen De Morgan'sche Gesetze (a b) = ( a) ( b) a=0, b=0: (0 ) = 0 = 1 = 1 ( 0) ( 0) a=0, b=1: (0 ) = 0 = 1 = 1 ( 0) ( 1) a=1, b=0: (1 ) = 0 = 1 = 0 ( 1) ( 0) a=1, b=1: (1 ) = 1 = 0 = 0 ( 1) ( 1) (a b) = ( a) ( b) Ähnlicher Beweis

14 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra14 Ein Basis-Theorem Theorem: Alle bool ' schen Funktionen (unäre, binäre, n -äre für jede positive ganze Zahl n) sind eine Komposition der beiden Basis-Operatoren und ; bzw. und Beweis: Ausgelassen.

15 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra15 Boolscher Basis-Operator II Theorem: Alle binären bool ' schen Funktionen sind eine Komposition des Operators NAND : a NAND b := (a b) Beweis: Die Negation läßt sich ausdrücken durch: a = (a a) = a NAND a Die Konjunktion und Disjunktion durch: a b = (a b) = (a NAND b) = (a NAND b) NAND (a NAND b) a b = a b = ( a b) = a NAND b = (a NAND a) NAND (b NAND b)

16 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra16 Boolscher Basis-Operator III Theorem: Das gleiche gilt für den Scheffer'schen Strich | ( NOR ): a | b := a b Beweis: Für die Negation: a = a a = a | a Die Disjunktion: a b = ( a b) = (a | b) = (a | b) | (a | b) Die Konjunktion: Übung !

17 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra17 Mögliche Kombinationen zweier boolscher Variablen

18 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra18 Anzahl von Bool'sche Funktionen Unäre Schaltfunktionen: Domäne-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente Ziel-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente Zwei Elemente in der Domäne, jeweils ein Wert aus dem Zielwertebereich und zwei möglich Werte Auswahlsmöglichkeiten also exp(2,2) = 4 f(0) = 0, f(1) = 0 : False f(0) = 0, f(1) = 1: Identität f(0) = 1, f(1) = 0: Negation f(0) = 1, f(1) = 1: True

19 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra19 Anzahl von Bool'sche Funktionen Binäre Schaltfunktionen: Domäne-Wertebereich: {0,1} x {0,1} also exp(2.2) = 4 Elemente Ziel-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente Vier Elemente in der Domäne, jeweils ein Wert aus dem Zielwertebereich und zwei möglich Werte Auswahlsmöglichkeiten also exp(2,4) = 16 binäre Schaltfunktionen

20 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra20 Anzahl möglicher Schaltfunktionen I Wir haben gesehen: Es gibt 16 verschiedene mögliche Schaltfunktionen bei gerade mal 2 Eingangsvariablen. Wie viele Funktionen sind aber bei n Eingangsvariablen möglich? Sei f: 2 n 2 eine Schaltfunktion mit n frei belegbaren Variablen. Dann gibt es 2 n mögliche Kombinationen von Wertebelegungen für die n Variablen Eine bestimmte Funktion f ist für jede dieser w = 2 n Eingangskombinationen definiert, sie produziert also w Ergebnisse (jeweils 0 oder 1).

21 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra21 Anzahl möglicher Schaltfunktionen II Durch die Wahl unterschiedlicher Schaltfunktionen f: 2 n 2 lassen sich für diese w Ergebnisse 2 w Ergebniskombinationen vorschreiben. Es existieren also genau 2 w = 2 2 n boolsche Funktionen, die alle möglichen Wertkombinationen der Eingangsvariablen auf alle Kombinationen von Resultaten abbilden. Bei n = 2 Eingangsvariablen existieren also 2 2 2 = 2 4 = 16 mögliche Schaltfunktionen. Bei n = 3 schon 2 2 3 = 2 8 = 256.

22 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra22 Auswahl von Schaltfunktionen Wir kürzen, wie folgt: XYZW bedeutet f(0,0) = X, f(0,1) = Y, f(1,0) = Z, f(1,1) = W Wichtigste Funktionen sind 0000: False; 1111: True 0011: 1er Projektion; 0101: 2er Projektion 0001: and; 0111: or 1110; nand; 1000: nor, oder Scheffer'sche Strich 0110: xor 1001: äquivalenz; 1101: implikation (material conditional); 1011: reverse-implikation;

23 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra23 Schaltfunktion Eine n-äre Schaltfunktion bzw. Bool'sche Funktion ist eine Abbildung f: exp(2,n) 2 {0,1} x {0,1} x... x {0,1} {0,1} z.B. f(x,y,z): exp(2,3) 2 {0,1} x {0,1} x {0,1} {0,1} f(0,0,0) = 0 f(0,0,1) = 1 f(0,1,0) = 1 f(0,1,1) = 0..........

24 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra24 Beispiel 1 Schaltfunktion: Wertetabelle:

25 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra25 Beispiel 1 - Schaltnetz Schaltfunktion: Realisierung als Schaltnetz Funktion ist eine Komposition von und

26 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra26 Beispiel 2: Antivalenz (XOR) Schaltfunktion: Wertetabelle:

27 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra27 Beispiel 2 - Schaltnetz Schaltfunktion: Realisierung als Schaltnetz:

28 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra28 Abkürzungsnotation I Da das Assoziativgesetz gilt, läßt sich analog für beliebig großes i.

29 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra29 Abkürzungsnotation II Der Übersichtlichkeit halber werden Inverter ( NICHT -Schaltzeichen) nicht explizit eingezeichnet sondern durch invertierte Eingänge der nachfolgenden Schaltzeichen ausgedrückt. Somit läßt sich auch notieren als

30 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra30 Beispiel 3 Abkürzende Notation:

31 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra31 Beispiel 3 - vereinfachbar? Kann man die Schaltfunktion aus Beispiel 3 noch vereinfachen? Schauen wir uns folgende Wertetabelle an:

32 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra32 Beispiel 3 - vereinfachbar? Die Wahrheitswert-Belegungen der beiden bool ' schen Funktionen und sind gleich. Somit sind sie äquivalent. Wie aber läßt sich das formal beweisen?

33 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra33 Theoreme der Boolschen Algebra I Kommutativgesetz a b = b aa b = b a Assoziativgesetz (a b) c = a (b c)(a b) c = a (b c) Absorptionsgesetz a (a b) = aa (a b) = a Idempotenzgesetz a a = aa a = a

34 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra34 Theoreme der Boolschen Algebra II Distributivgesetz a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) Gesetz von D E M ORGAN (a b) = a b (a b) = a b Beweise? Gleich wie bei De Morgan Theorem: Alle wahre Gleichungen (Gesetze) in, sind Konsequenzen dieser Gesetze Beweis: Ausgelassen

35 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra35 Beispiel 3 - Vereinfachung läßt sich nach dem Kommutativgesetz umformen zu: Das läßt sich nach dem Absorptionsgesetz umformen zu: Somit ist die Äquivalenz der beiden Schaltfunktionen bewiesen.

36 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra36 Beispiel 3 - Vereinfachung Somit läßt sich die Schaltung vereinfachen zu

37 Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra37 Literatur und Links Structured Computer Organization Andrew S. Tanenbaum, Prentice Hall, 1999 Lectures on Boolean Algebra Paul Halmos, Springer-Verlag Rechneraufbau und Rechnerstrukturen W. Oberschelp und G. Vossen, 6. Aufl., R. Oldenbourg-Verlag, 1994 Kurz-ZusammenstellungFormale Methoden der Linguistik I Mirco Hilbert, WS 2000/01 elearn.rvs.uni-bielefeld.de

38 Technische Informatik I Nächste Woche: Vorlesung 4: Vereinfachung von Schaltfunktionen Mirco Hilbert mail@Mirco-Hilbert.de Universität Bielefeld Technische Fakultät