Diskrete Mathematik II Vorlesung 7 SS 2001 Voronoi-Diagramme, Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

Übersicht I Voronoi-Diagramm: Motivation Zu Beginn eine interaktive Animation Voronoi-Diagramm Anwendungen Konvexe Menge, konvexe Hülle Voronoi-Regionen (Polygone) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist der schwierigste Teilschritt? Aufteilung der Menge P in P1 und P2 Voronoi-Diagramm von P1 Voronoi-Diagramm von P2 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Konstruktion des trennenden Kantenzuges Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Übersicht I Tangente Tangente – konvexe Hülle Konvexe Hülle Vereinigung Löschen der überflüssigen Segmente Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Kosten Länge des Kantenzuges im Worst Case Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) * O(n) = O(n2) ? „Investitionen müssen sich amortisieren“ Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/ Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Voronoi-Diagramm Gegeben ist eine Menge von n Punkten Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi-Knoten und –Kanten Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Anwendungen Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...) Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz ... Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...) Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) Bewertung von Standorten Biologie Archäologie Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Konvexe Menge, konvexe Hülle Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Voronoi-Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi- Regionen unbeschränkte Voronoi- Regionen Übung: Die Konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi-Regionen Übung: Jede Voroni-Region ist konvex! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen, Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Was ist der schwierigste Teilschritt? Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen Sortieren nach y-Koordinate Bilden des Medians Einfach Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt; der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Aufteilung der Menge P in P1 und P2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Voronoi-Diagramm von P1 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Voronoi-Diagramm von P2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Tangente – konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Mittelsenkrechte bilden Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

war jetzt alles umsonst? O(n) * O(n) = O(n2) ? war jetzt alles umsonst? Kantenzug ist monoton Voronoi-Regionen sind konvex Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen! O(n) * O(n) = O(n2) ? Keine Kante öfter als zwei mal anfassen! Voronoi-Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

„Investitionen müssen sich amortisieren“ Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7