Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 5 WS 2000/2001 Topologie, Landkarten, Datenstrukturen

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 52 Zusammenhang II Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante. Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt. (Für Flächen mit vernünfti- gen Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie) elastische Verformung Pfadzusammenhang

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 53 Regularisierung X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben). Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von X reg(X) = X°¯ Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen) Inneres Abschluß X reg(X)

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 54 Tesselation Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen). vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 55 Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a)jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche Außen - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis- scheibe äquivalent ist

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 56 Einschränkungen Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen (Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen): Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz. Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren Auseinander liegende Kontinente: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 57 Topologische Beziehungen in Landkarten Adjazenz von Knoten und Kanten Adjazenz von Kanten und Maschen Adjazenz von Kanten und Kanten Adjazenz von Maschen und Maschen

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 58 Geometrisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden Option: Wieviel Topologie wird explizit repräsentiert?

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung Spaghetti - Struktur - nur Geometrie - keine Topologie Repräsentationen von Landkarten

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 510 Flächen: A: B: C: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C x y Spaghetti

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 511 UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur Paare von Koordinaten geordnete Folge von Koordinaten [0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 512 P2 P1 P3b P4a P5a P6 P7b P8 P9 A B C Flächen: A: P1P2P3a P4aP5a B: P4b P3b P6 P7b C: P4cP7b P8 P9P5c P5c P4b P7c P3a P4c P P P3a P3b P4a P4b P4c Spaghetti (Komposition von Punktobjekten) Punkte:

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 513 Flächen: A: P1P2P3a P4aP5a B: P4b P3b P6 P7b C: P4cP7b P8 P9P5c Punkte: P P P3a P3b P4a P4b P4c P2 P1 P3b P4a P5a P6 P7b P8 P9 A B C P5c P4b P7c P3a P4c Spaghetti (Komposition von Punktobjekten)

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 514 UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten Masche Punkt n 1..1 {geordnet} Komposition

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung , , , 2.0 Vor- und Nachteile Vorteile: –bequem für Flächenberechnung –gut für Graphikprogramme Zeichnen von Polygonen Nachteile: –Topologie nur implizit –fehleranfällig –wenig änderungsfreundlich –Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten P1 P2 P3 P5 P4

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 516 vorher nachher Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 517 Flächen: A: P1P2P3P4P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4P7 P8 P9P5 Punkte: P P P P P P Punktobjekte ohne Redundanz P1 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 518 Flächen: A: P1P2P3P4P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4P7 P8 P9P5 Punkte: P P P P P P Punktobjekte ohne Redundanz P1 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 519 UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz Masche Punkt n 1..n {geordnet} Aggregation Beachte: Redundanzfreiheit kann durch dies UML-Diagramm nicht erzwungen werden.

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 520 Knoten: P P Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten-Maschen- Struktur E6 P1 E11 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 521 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen E6 E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 522 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 523 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 524 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 525 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 526 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 527 Knoten-Maschen- Struktur P1 E11 P2 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen P3 P6 E6 Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten: P P

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 528 Masche Kante Knoten Punkt 2 3..* begrenzt 2 2..* begrenzt 1 1 Geometrie neu Topologie explizit Redundanzfreiheit wird erzwungen UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur

Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 529 Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten- Struktur Vorteile: –Geometrie ist redundanzfrei –Topologie ist explizit –bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden Nachteil –der Kantenumring ist nicht direkt gegeben, sondern muß berechnet werden Lösung: Kanten mit Flügeln