Nearly Free Electron Model TechnischeUniversität Graz WS 2007/08 Nearly Free Electron Model Präsentation für Solid State Physics 0530982 Andreas Katzensteiner andreas.katzensteiner@student.tugraz.at 0530720 Roland Schmied rolsch@sbox.tugraz.at

Inhaltsverzeichnis Modell des freien Elektronengases-Nachteile Verbesserungen des Modells Elektronen im periodischen Potential Blochfunktionen Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit Energie-Impuls-Relation Betrachtung eines Grenzfalles Hereinklappen der höheren Brillouinzonen Aufspaltung der Energiewerte Energielücke als Folge der Gitterperiodizität Quellen

Modell des freien Elektronengases - Nachteile I: Einelektronennäherung II: keine Wechselwirkung zwischen Elektronen III: Kastenpotential IV: Energieniveau kontinuierlich

Verbesserungen des Modells Ersatz des Kastenpotentials durch periodisches Potential der Atomrümpfe Festkörper unendlich ausgedehnt Abweichungen von der Periodizität und von Oberflächeneffekten werden vernachlässigt

Elektronen im periodischen Potential Elektronen im Metall nicht frei Potential der Schrödingergleichung periodisch Raumdiagonale Abb.1: Elektronen im periodischen Potential

Blochfunktionen Ansatz für Lösungsfunktion Blochfunktionen Energie des periodischen Potentials

Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle durch Braggreflexion an den Gitterebenen Amplituden A und B gleich Abb.2: stehende Welle an den Gitterebenen

Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit Aufenthalts-wahrscheinlichkeits-dichten für ein Elektron Abb.3: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für ein Elektron

Energie-Impuls-Relation Beschränkung der Energie-Impuls-Relation auf den Bereich: Für Elektronenwellen- funktionen gilt:

Betrachtung eines Grenzfalles gitterperiodische Potential E (r) konstant Nur diskrete k-Werte erlaubt Dispersionskurve eines freien Teilchens pot Abb.4: Dispersionskurve eines freien Teilchens

Hereinklappen der höheren Brillouinzonen Hereinklappen der höheren Brillouinzonen und Reduzierung der k-Werte auf erste Brillouinzone Eigenfunktionen genügen den Bedingungen für Blochfunktionen

Aufspaltung der Energiewerte Störung des Elektrons durch periodisches Potential der Atomrümpfe: Linearkombination der gestörten Wellenfunktion Näherungsweise Vereinfachung der Lösungen zu: Ausbildung einer Energielücke

Energielücke als Folge der Gitterperiodizität Je kleiner die räumliche Periode ist, desto größer wird die Energielücke Am Zonenrand verlaufen die Kurven horizontal Abb.5: Energielücke als Folge der Gitterperiodizität

Quellen Festkörperphysik, Ibach u. Lüth, Springer-Verlag, 4.Auflage, Kapitel 7 Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel, was weiß ich was das für ein Verlag ist, 7.Auflage, Kapitel xy Experimentalphysik 3, Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag, 3.Auflage, Kapitel 13