erstellt von Petra Bader Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader

Lehrplanbezug Grundkurs in Klasse 13: Leistungskurs in Klasse 12: 13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (7 Stunden) 13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden) Leistungskurs in Klasse 12: 12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (6 Stunden) 12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)

GK 13. 4 und LK 12. 4: Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u GK 13.4 und LK 12.4: Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum. Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform Geraden- und Ebenengleichungen in Koordinatenform A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform; Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe; Achsenabschnittsform; Spurpunkte und Spurgeraden; achsenparallele Geraden bzw. Ebenen; zeichnerische Darstellungen Die Schüler sollen lernen, anschaulich zu argumentieren und die Darstellungsformen sorgfältig zu unterscheiden. Sie sollen auch Sicherheit in der zeichnerischen Darstellung einfacher räumlicher Situationen gewinnen.

Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene GK 13.5 und LK 12.5: Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse; auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen

II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form Geradengleichung in vektorieller Parameterform Zwei-Punkte-Gleichung kR Punkt-Richtungs-Gleichung kR X z B A O y x X z A Geradengleichung: für den Ortsvektor x=OX eines beliebigen Punktes X auf g: OX = OA + AX und AX = kAB = k (OB-OA) = k(b-a) O y x

Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig. Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor , k R\{0}, als Richtungsvektor. => Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden Zu 1.) einerseits, da durch zwei nicht zusammenfallende Punkte A und B eindeutig ein Richtungsvektor u bestimmt wird, und andererseits ist duch Vorgabe eines Punktes A und eines Richtungsvektors u (nicht 0), eindeutig ein Punkt B bestimmt.

II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren: A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR Im R³ gibt es für eine Gerade keine parameterfreie Darstellung durch eine Gleichung (zwei Gleichungen erforderlich!)

II.2 Darstellungsformen von Ebenen Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren „aufgespannt“. E B X A C

II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (1) a) Drei-Punkt-Gleichung B E A X C k,l R

II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (2) b) Punkt-Richtungs-Gleichung g E A X h k,l R

II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4 = 0, Ai R

III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = g∩h. 2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g  h. Man sagt: g und h sind echt parallel 3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel. Nur im R³: 4. Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief. S g h g h g h g

Bestimmung der Lage zweier Geraden 1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs- vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab-hängigkeit. Gegeben: Berechne: Entscheide: linear unabhängig nein ja Entscheide: linear unabhängig linear unabhängig nein nein ja ja g und h sind windschief gh= g und h schneiden sich gh={S} g und h sind echt parallel gh= g und h fallen zusammen g=h

Bestimmung der Lage zweier Geraden 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das Gleichungssystem: genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt) keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar) unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen

III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen k, l, r R 1. Gerade und Ebene schneiden sich; Schnittpunkt S 2. Gerade und Ebene sind echt parallel 3. Gerade liegt in der Ebene A2 g g g E A1 E E E A1 S A1 A2 A2 gE={S}  linear unabhängig gE=  1. linear abhängig 2. lin. unabh. gE=g  1. linear abhängig 2. lin. abh.

Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene 1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit Gegeben: Entscheide: linear unabhängig nein Berechne: ja linear unabhängig Entscheide: nein ja g schneidet E gE={S} g echt parallel zu E gE= g liegt in E gE =g

Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das inhomogene Gleichungssystem: keine Nullzeile auf der linken Seite  genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt) Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null  keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene) eine vollständige Nullzeile  unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)

III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen k, l, r, s R 1. Ebenen schneiden sich; Schnittgerade g 2. Die beiden Ebenen sind echt parallel 3. Beide Ebenen fallen zusammen (entartet parallel) g A1 A1 E1 A1 E1=E2 A2 E2 A2 A2 E1 E2 E1E2=g  E1E2=  1. 2. E1=E2  1. 2.

Bestimmung der Lage von zwei Ebenen Gegeben: Entscheide: linear unabhängig nein Berechne: ja linear unabhängig Entscheide: nein ja E1 und E2 schneiden sich E1E2=g E1 echt parallel E2 E1E2= E1 und E2 fallen zusammen E1=E2