unabhängig von Geometrie (A und L) 3. Deformierbare Medien 3.1. Eigenschaften deformierbarer fester Körper Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”) 3.1.1. Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz Def.: Zugspannung Relative Dehnung A Feste Wand L A  Querschnitt  F  Hookesches Gesetz: E  Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E  1 N m2 unabhängig von Geometrie (A und L)

σ ε Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung  Proportionalbereich Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) ε σ Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Reißen Proportionalitätsbereich

Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß  Kerbspannung

elastische Nachwirkung Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: σ Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung  elastische Nachwirkung ε

3.1.2. Querkontraktion L  dL Def.: Poissonzahl D D  dD L Volumenzunahme: Zugspannung 

Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul F  p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p  Def.: Kompressibilität Kompressionsmodul

Zusammenhang zwischen E,  und K: Beweis: dF A dF q.e.d.

α 3.1.4. Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte  Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G  Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G  1 N m2 rad1 Beweis:  Bergmann Schaefer

r dr dφ φ α L 3.1.5. Torsionsschwingung  Messung von G (vgl. Tafelrechnung) r dr Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit dφ φ dünnes, langes Drahtseil α L Feste Einspannung

z Draht φ Realisierung als Drehpendel: Def.: L Trägheitsmoment J φ z L Def.: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: (vgl. Kap. 4.2.) Tafelrechnung  Schwingungperiode T

s 3.1.6. Biegung  Messung von E Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen Neutrale Faser: f(s) yN gedehnt b  Biegepfeil gestaucht Steigung: a  f ´(L) s L feste Einspannung Näherung kleiner Biegung:

elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung: Δs  Δℓ elastische Gegenkraft y – yN gedehnte Faser dx·dy Δs s s  Δs neutrale Faser ρ(s)

s L Biegekurve: Randbedingungen  y x b  Biegepfeil feste Einspannung Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen s gedehnt gestaucht yN Neutrale Faser: f(s) Steigung: a  f ´(L) L b  Biegepfeil

Tangentialkraft entlang der Oberfläche 3.2. Hydro- und Aerostatik Statik  Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit  ohne Arbeit verformbar bei Volumen  const. reale Flüssigkeit   Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase  Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand 3.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit Tangentialkraft entlang der Oberfläche dV an Oberfläche Verschiebung Statik  Ideale Flüssigkeit

Beispiel: Rotationsparaboloid z α m r mω2r α z0 mg ω

Äußere Kraft 3.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft)  Druckkraft:  Kraftdichte: Statik:  dx p(x) p(x  dx) dA A

Anwendung: Hydraulische Presse Externe Kraft Interne Kraft aber

3.2.3. Kompressibilität in Flüssigkeiten i.a. sehr klein: Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h. Dichte

H ρ z Tauchtiefe Anwendung: Schweredruck   dA p  const. bei konstanter Tauchtiefe  Tauchtiefe dA

Identische Bodendrücke Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon ρ ρ ρ ρ Identische Bodendrücke Anwendung: Kommunizierende Röhren  Demo-Exp.

Anwendung: Dichtewaage F1 = F2 h1 h2 ρ1 ρ2   F1 F2 A

3.2.4. Auftrieb mK ρK ρFl Archimedisches Prinzip: dA dz dV dmFl Auftriebskraft ρFl ρK mK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt 3.2.4. Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein  Gaußscher Integralsatz ) dz dV dmFl p(zdz) p(z)

Folgerung: K  Fl  Körper sinkt zu Boden K  Fl  Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K  Fl  Körper schwebt

Beispiel: Eisberg Eisberg 10 % T = 0 ºC

x 3.2.5. Gasdruck Gase sind komprimierbar    p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V  const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V  x Experiment:

Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T  const. Barometrische Höhenformel (  Tafelrechnung )

ρ 3.2.6. Luftdruck Luftdruck p Messung mit Quecksilbersäule: Vakuum Def.: 1 Torr  1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr  133,3 Pa Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

3.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: Def.:   Oberflächenspannung  tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

Wasserhaut h Beispiel: Messung der Zerreißfestigkeit einer Wasserhaut (Gewicht der Haut vernachlässigt)

Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (relativ) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen. http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm

p p  p r Seifenblasen: Aufblähen: dWp  dWOb: Blase expandiert dWp  dWOb: Blase schrumpft dWp  dWOb: Blase stationär  Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

3.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ik  Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 23  23  0 (sonst Verdampfung) 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 12  0  Adhäsion12  Kohäsion2 analog für 13 σ13-Achse 1 Wand φ 3 Dampf σ23-Achse 2 Flüssigkeit σ12-Achse

1 3 2 σ13-Achse σ23-Achse σ12-Achse Dampf Wand φ Flüssigkeit Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf Grenzwinkel: 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ13-Achse σ12-Achse σ23-Achse φ

Def.: 13  12  Adhäsionsspannung  23 cos  13  12  0    90º  13  12  0    90º  13  12  23  vollständige Benetzung

benetzende Flüssigkeit 3.2.9. Kapillaren Kapillare  enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) 2r dF = σ · dl φ h Kapillare φ benetzende Flüssigkeit Gleichgewicht: Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten:

nicht-benetzende Flüssigkeit Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: 2r Kapillare h nicht-benetzende Flüssigkeit

Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)

Folgerung: Flüssigkeit im Keil Platten 2α x Hyperbel

3.3. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen Def.: Laminare (schlichte) Strömung  Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung Bewegungslinien der Volumenelemente Gegensatz: Turbulente Strömung

Reibungskräfte zwischen den Randschichten Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : Reibungskräfte zwischen den Randschichten dV dA Viskosität (Zähigkeit) x x1 x2 = x1+dx allgemein

Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Anwendung: Kapillarviskosimeter p1 Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft  Parabel R L Durchfluss:  Hagen-Poiseulle-Gesetz p2

v0 ρK 2r ρfl η Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Gleichgewichts-Geschwindigkeit 2r ρK v0 Kräfte-Gleichgewicht  ρfl η Ruhende Flüssigkeitssäule

3.4. Strömungen in idealen und realen Flüssigkeiten (gilt auch für Gase) 3.4.1. Grundbegriffe Stromröhre: Stromlinie (Stromfaden) Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt Strömungsfeld: Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant)  Stromlinien entlang

Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromlinie (Stromfaden) Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander. Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte. Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei. Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.

x x  dx dV dA 3.4.2. Kontinuitätsgleichung Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x  dx dV dA

Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge:  Kontinuitätsgleichung:

Kontinuitätsgleichung: Def: Stromdichte  Massenfluss durch Fläche Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus

Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: Strömung A2 A1 ideale Flüssigkeit Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dVein  dVaus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke IM ist konstant.

(hydrodynamischer Druck) 3.4.3. Die Bernoullische Gleichung Lokaler Druck p (hydrodynamischer Druck) ρ Annahmen: ideale Flüssigkeit  η  0  v  const. entlang Rohrquerschnitt inkompressible Flüssigkeit  ρ  const. Keine Schwerkraft (  kein Rohrgefälle )

Energiedichten: v F(x) F(xdx) Bernoulli-Gleichung: dV  dA·dx dA dx Potentielle Energiedichte: εp = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Kinetische Energiedichte: Bernoulli-Gleichung:

Gesamtdruck ( Staudruck ) Beispiel: Pitot-Rohr p p0 v ρ h p  ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck ( Staudruck )

z x z(x) Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks Kinetische Energiedichte der Strömung x

h h Δh h Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ Reibung  zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

Anwendung: Zerstäuber Unterdruck Luft

Anwendung: Wasserstrahlpumpe Wasser, sehr langsam bewegt p0 Luft Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon Luft, v1 d  0  v2    Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife d v2

Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Luftströmung (Fahrtwind) v1  v2 Zirkulationsströmung Flügel v2

Zirkulationsströmung durch Drehung Anwendung: Magnus-Effekt Zirkulationsströmung durch Drehung Laminare Strömung Auftrieb v2 v1  v2

Luftströmung (Fahrtwind) Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p p0 Flüssigkeit

3.4.4. Die reale viskose Flüssigkeit Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte Schwerkraft-dichte Reibungs-kraftdichte Spezialfall   0  Euler-Gleichung Interessanter Term: Geschwindig-keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik Wirbelfreie (laminare) Strömung 

Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung  groß Beispiel: Umströmter Kreiszylinder v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1 S2 Q W Δp S1 S2 Reibung  v(W)  0 S1: v  0 p(S1) = p0 Vakuum bei S2  Wirbel Q: v  max p(Q) = min  p0 v groß in Wirbeln  p bei S2  p bei S1  „Druckwiderstand“ S2: v  0 p(S2) = p0

runde, scharfkantige Öffnung Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel Wirbelring Membran runde, scharfkantige Öffnung

Winkelgeschwindigkeit Wirbelstärke: Wirbelfläche A Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A bzw. heißt Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

Luftströmung (Fahrtwind) 3.4.5. Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ Wirbelstraße A Reibung  Wirbel reißen ab  Wirbelstraße  Druckwiderstand  Reibungswiderstand Bernoulli-Gleichung   Parametrisierung FW  Widerstandskraft cW  Widerstandsbeiwert

3.4.6. Ähnlichkeitsgesetze Längenskala L , Zeitskala T  dimensionslose Größen:  Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldsche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Anwendung: Modelltests im Windkanal

reale, rauhe Oberfläche 3.5. Reibung zwischen festen Körpern 3.5.1. Haftreibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft F  FH  Körper haftet F  FH  Körper gleitet Empirisch: H  Haftreibungskoeffizient Experimenteller Test:

Messung von μH : αH m αH  Winkel beim Losrutschen !

Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Kraft durch Last am Stab Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ... n  Windungen Seil Tafelrechnung  Bremskraft ( Seilspannung ) Nachbarseilstück: F(φ  dφ)  F(φ)  dF Infinitesimales Seilstück F(φ) φ dφ F(φ) Stabquerschnitt Spannung φ  dφ

reale, rauhe Oberfläche Normalkraft 3.5.2. Gleitreibung Empirisch: G  Gleitreibungskoeffizient Stokes-Reibung: G  v (für kleine, langsame Körper) Newton-Reibung: G  v2 (für große, schnelle Körper)

m S Stock a b F1 F2  M2  ( a  b )·F2 F  mg  M  a·F Experiment: Stock auf zwei Fingern a b m S Stock Finger 1 Finger 2 F1 F2  M2  ( a  b )·F2 F  mg  M  a·F Gleichgewicht: bzgl. Drehung um Finger 1 a  b  ① rutscht b  a  ② rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

Deformation (übertrieben)  bremsendes Drehmoment 3.5.3. Rollreibung Deformation (übertrieben)  bremsendes Drehmoment Empirisch: R  Rollreibungskoeffizient i) Haftung: αR  Winkel beim Losrollen αR m r Beobachtung: R ≪ H

ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: m r Gleiten Rollen Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, 