Deformierbare Medien Ideales Gas:

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1 Deformierbare Medien Ideales Gas:
Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung (inkompressibel) Formänderung ohne Arbeit (reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte) Fester Körper Volumenänderung erfordert (große) Kraft Formänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen!

2 Deformierbare feste Körper
Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen:

3 Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft
Dehnungselastizität Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft

4 Dehnung – Hookesches Gesetz
Formel SI Einheit Anmerkung 1 N / m2 Dehnung E Elastizitätsmodul 1 Dehnung, relative Längen Änderung Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche)

5 Beispiele für Elastizitätsmoduli
Formel Einheit Erläuterung Spannung 1 Dehnung, relative Längenänderung Elastizitätsmodul, Beispiele: Material Fe Al Glas Holz (Esche) Gummi

6 Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material
sowohl bei Dehnung als auch bei Verdichtung

7 Die Poisson-Zahl Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt. Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

8 Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft
Die Poisson-Zahl Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft ist die Poisson-Zahl,

9 Spannung und Dehnung

10 Elastizitätsmodul Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz) Elastizitätsmodul E Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m2 (=Pa Pascal) (!) Typische Werte für E: Stahl: ( )*109 N/m2 Blei: *109 N/m2

11 Spannungs-Dehnungs-Diagramme

12 E-Modul und Zugfestigkeit

13 Scherspannung Das Verhältnis der Scherkraft Fs zur Fläche A heißt Scherspannung Scherwinkel Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung: Schub- oder Torsionsmodul G: Beispiele: Gal=30 GNm-2, Gfe=70 GNm-2, Gstahl=84 GNm-2, GStahl==150 GNm-2

14 Torsion eines Drahts Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt: Flächenelement dA eines Hohlzylinders Die rücktreibende Tangentialkraft ist Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment Integration liefert das Drehmoment

15 Festkörper und Flüssigkeiten
Die atomaren Baugruppen liegen in beiden Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil Flüssig Fest

16 Druck in Flüssigkeiten
Im Unterschied zum Festkörper kann eine Flüssigkeit keine Scherspannung aufbauen (der Schubmodul ist 0) Flüssigkeiten können Behälter beliebiger Form ausfüllen Taucht man einen Körper in eine Flüssigkeit, so wirken Kräfte auf die Oberfläche des Körpers. Flüssigkeiten üben auch Kräfte auf die Behälterwände aus. Gestaltsänderung

17 Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper
Druck p 1 Kraft F 0,5 Volumenänderung ΔV Volumen V

18 Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten
Einheit 1 Die relative Änderung des Volumens –ΔV/V ist proportional zum Druck p K 1/Pa Kompressionsmodul

19 Kompressionsmodul einiger Materialien
Einheit Kompressionsmodul K Wasser 1 Pa Benzol Kupfer

20 Kompressibilität: Beispiele

21 Kompressibilität Das Verhältnis von Druck zur relativen Volumenänderung heißt Kompessionsmodul K Der Kehrwert des Kompressionsmoduls heißt Kompressibilität Bei Flüssigkeiten ist die Kompressibilität meist so klein, daß schon geringe Volumenänderungeen eine sehr große Druckänderung bewirken. Einige Werte für Kompressibilitäten: H2O: k=5*10-10 Pa-1 Benzol: k=1* Pa-1

22 Hydraulische Kraftverstärkung
Druck p 1 Kraft F2 0,5 Fläche A2 Kraft F1 Fläche A1 Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche

23 Hydraulische Kraftverstärkung
Einheit 1 Pa Konstanter Druck im System 1 N Kraft an der Fläche 2

24 Hydraulische Presse Für ‘masselose’ Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst. Werden die Flächen A1 , A2 um die Strecken a1 , a2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W1) bzw. gewonnene (W2) Arbeit und es gilt dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist.

25 Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft
Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist Die Gewichtskraft beträgt Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p0=äußerer Druck) Der Druck am Boden der Säule ist Ändert man p0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip)

26 Flüssigkeitsmanometer

27 Flüssigkeitsbarometer

28 Bodendruck in Gefäßen

29 Bodendruck in Gefäßen (Erklärung)

30 Auftrieb

31 Die Auftriebskraft F(h1) h1 p(h1) h2 p(h2) F(h2)
Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft

32 Die Auftriebskraft 1 N Einheit
Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1 Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2 Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht

33 Bedingung fürs Schwimmen: ρK < ρFl
Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben

34 Bedingung fürs Schweben: ρK = ρFl
Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft

35 Bedingung fürs Sinken: ρK > ρFl
Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten

36 Kräfte an einem Körper

37 Auftriebsmethode nach Archimedes
Heureka ??? Goldene Krone ??? Wiegen in Luft Archimedes BC Hiero II, König von Syrakus BC Wiegen in Wasser

38 Problem des Archimedes

39 Gesetz des Archimedes

40 Ideale stationäre Strömungen

41 Die Volumenstromstärke
Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 5 ds A dV

42 Die Volumenstromstärke
Einheit 1 m3/s Volumenstromstärke A 1 m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt 10 ds A 5 dV

43 Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen
Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 5

44 Die Kontinuitätsgleichung
dV dV Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

45 Die Kontinuitätsgleichung
Einheit 1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt 1 m3/s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

46 Der menschliche Blutkreislauf
Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können. Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm . In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s-1. Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s-1.

47 Kontinuitätsgleichung

48 Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

49 Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck
Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

50 Versuch zur Bernoulli-Gleichung
Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

51 Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg
Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

52 Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
Volumen links Volumen rechts 1 J Kraft mal Weg Arbeit gegen den Druck A1 A2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

53 Kontinuitätsgleichung beim Übergang
Einheit 1 m3/s Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m3 Konstante Volumina Zeit dt 10 A1 5 A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

54 Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen
Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren 1J A1 A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

55 Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung
Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

56 …und um ein Volumen dV zu beschleunigen
Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung 1J Energieerhaltung dV dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

57 Die Bernoulli-Gleichung
1 J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p1, p2 Drucke in beiden Bereichen v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums

58 Druckverteilung in Rohren

59 Druckverteilung in Rohren
Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr) Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m3), wenn bei einer Verengung von d1 = 80 mm auf d2 = 60 mm der Druck um mbar absinkt?

60 Druckverteilung in Rohren
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt: Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung Der Volumenstrom ist somit

61 Bernoulli-Gleichung

62 Energieänderungen

63 Energieänderungen

64 Energiebilanz

65 Bernoulli-Gleichung

66 Gesetz von Torricelli

67 Loch im Wassertank

68 Fragen zu deformierbaren Medien
An einem 1m langen Stahldraht (E=1011N/m2) der Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung? Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (Rm=520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm hängen? Eine Kugel (Vkugel=10-7 m3) wird in eine mit Wasser (k=5*10-10 Pa-1) gefüllte Kiste (Vkiste=10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?