Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig
X größerY größer X größerY kleiner
Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang
Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen
Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 1.00
Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52
Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 0.00
Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: -0.62
Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung
Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen ( Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit ) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen
Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!
Aufgaben der Regressionsrechnung Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die Zukunft extrapolieren. Man erstellt eine Prognose. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine Zeit x der Zukunft den Wert y = f(x) zu schätzen. 1. Extrapolation
2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.
Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den Punkt (a,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!
Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei
Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist
In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in Euro
Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Mittelwerte Varianzen Kovarianz
Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei