Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Di. 13:00-14:30 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Elektromotorische Kraft: EMK (veraltet) (2.8) Bei m Erzeugerspannungen n Verbraucherspannungen in einem Umlauf. Bild 2.8. EMK und Spannung einer Batterie (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 33, 2005]) Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005])

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Parallel- und Reihenschaltung Reihenschaltung von Widerständen Ohmsches Gesetz liefert (2.9a) (2.9b) (2.9c) Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Addition 1. Kirchhoffsches Gesetz 2. Kirchhoffsches Gesetz Gl. (2.11) und Gl. (2.12) in Gl. (2.10) einsetzen: Gesamtwiderstand R (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Reihenschaltung von Widerständen Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Bild Zum Ohmschen Gesetz (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 35, 2005]) Allgemeingültig bei Reihenschaltung von n Widerständen: (2.15) (Reihenschaltung) Ersatzschaltung:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Spannungsteiler Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Aus den Gleichungen zu Bild 2.9 Bildet man Verhältnis zur Gesamtspannung U und nutzt Gl Dies kann man verallgemeinern für Teilspannung am ν-ten Teilwiderstand einer Reihenschaltung aus n Widerständen (2.16) folgt nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Spannungsteiler Speziell für 2 Widerstände in Reihe gilt: (2.17) (2.18) Bild Unbelasteter Spannungsteiler (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 35, 2005])

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Parallelschaltung von Widerständen Addition liefert 1. Kirchhoffsches Gesetz 2. Kirchhoffsches Gesetz Gl. (2.22) und Gl. (2.21) in Gl. (2.20) einsetzen: Vergleich mit Ohmschen Gesetz für Leitwert G resultierender Leitwert G bei Parallelschaltung von n Leitwerten (2.25) Parallelschaltung Bild Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) Ohmsches Gesetz liefert (2.20) (2.21) (2.22) (2.19a) (2.19b) (2.19c) (2.23) (2.24) Gesamtleitwert

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Parallelschaltung von Widerständen Drückt man dies in Widerstandsform aus: anders geschrieben (2.26) Bild Zum Ohmschen Gesetz (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Bild Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) Leitwertform ist bei Parallelschaltung einfacher zu handhaben! Ersatzschaltung:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Parallelschaltung von Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel: Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: Wenn die beiden parallelgeschalteten Widerstände gleich groß sind, beträgt der Gesamtwiderstand die Hälfte Einzelwiderstandes!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel: Parallelschaltung von zwei 10 kΩ Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: Wenn die beiden parallelgeschalteten Widerstände gleich groß sind, beträgt der Gesamtwiderstand die Hälfte Einzelwiderstandes!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel: Parallelschaltung von zwei Widerständen Es gilt am Beispiel von zwei parallelgeschalteten Widerständen: Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: d. h. der Gesamtwiderstand R ist kleiner als jeder Einzelwiderstand, R 1 und R 2. Da durch die Parallelschaltung von Widerständen ein höherer Strom I durch die Parallelschaltung fließt als jeder einzelne Strom ist, I 1 und I 2. Es gilt ja auch nach der Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz):

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Stromteiler Verallgemeinert gilt: Am Beispiel der 3 parallelgeschalteten Leitwerte kann man die Gleichungen des Ohmschen Gesetzes für einen und alle 3 Leitwerte ins Verhältnis setzen Bild Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) (2.28)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Stromteiler Sonderfall Parallelschaltung von 2 Leitwerten: (2.29b) Die Ströme verteilen sich im Verhältnis der Leitwerte bzw. reziprok zu den Widerständen Bild Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) (2.29a)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Gruppenschaltung von Widerständen Eine Schaltung, die sich aus einer Gruppe von Elementen zusammensetzt, nennt man Gruppenschaltung. Wenn man in Netzwerken Gruppen von Widerständen zusammenfassen kann, vereinfacht das deren Berechnung: Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005])

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.4 Berechnung des resultierenden Widerstands einer Gruppenschaltung Gesamtwiderstand Berechnung der beiden Reihenschaltungen: Parallelschaltung berechnen: Lösung: Gegeben: Gruppenschaltung in Bild 2.15 Gesucht: Gesamtwiderstand Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) (2.31)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Gruppenschaltung von Widerständen Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung Bei einer Brückenschaltung kann man so nicht vorgehen, da Strom durch Querzweig und somit keine einfachen Reihenschaltungen vorliegen! Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung in Querzweig einfügen!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Man spricht von einer abgeglichenen Brücke, wenn: ist:, dann entspricht Bild 2.16 entspricht dann Bild 2.15 Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung = wenn I 5 = 0 Strom im Querzweig gleich Null:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Praktische Anwendung: U 5 durch Messgerät ersetzen! Bei Abgleich der Brücke auf Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung kein Strom durch Messgerät! Bild 2.16b. Brückenschaltung als Messbrücke Brückenschaltung als Messbrücke! 3 I

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Mit Spannungsteiler-Formeln (SPT-Formel) Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung Umlauf 1, 5, 3: linke Masche M 1 : (SPT 1) (SPT 2) Bei Abgleich der Brücke gilt Es folgt damit

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Umformung liefert Abgleichbedingung: (2.32d) (2.32b) (2.32c) Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich, Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung Strom im Querzweig gleich Null: Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung = wenn I 5 = 0 Abgleichbedingung: kann aus der kann aus derSchaltung entfernt werden! D.h.:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Leerlauf zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Leerlauf: Abgleichbedingung: Gesamtwiderstand für den Leerlauf nach Gl. (2.31) :

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Kurzschluss zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Kurzschluss: Abgleichbedingung: Gesamtwiderstand für den Kurzschluss:

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Leerlauf zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Leerlauf: Abgleichbedingung: Bild Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Kurzschluss zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Kurzschluss: !=!=

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Brücken-Abgleich Anwendung: Bestimmung eines unbekannten R 1 ! Abgleichbedingung: (2.32d) Bild Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung mit 3 bekannten Widerstände R 2, R 3, R 4 R 3 einstellbar spannungsunabhängig!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d) ist NICHT abgeglichen

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Symmetrische Schaltung Aufgrund der Symmetrie fließt zwischen den Klemmen A und B kein Strom! Deswegen kann man zwischen den Klemmen A und B einen beliebigen Widerstand R AB einfügen.

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Aus Schaltung 2.18c lässt sich der Gesamtwiderstand bestimmen! Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Bild Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Aufgrund der Symmetrie! Aufgrund der Symmetrie!

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schaltungssymmetrie Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Parallel- schaltung Parallel- schaltung Reihen- schaltung Reihen- schaltung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Schaltungssymmetrie Reihen- schaltung Parallel- schaltung Parallel- schaltung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen 2.3 Strom- und Spannungsmessung Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser Innenwiderstand des Messgerätes R Innenwiderstand = R i Bild Strommessung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Bild 2.19b. Strommessung R i : Innenwiderstand des Messgerätes: R i ist zusätzlich im Messkreis R i verkleinert Strom I R i möglichst klein wählen ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser R i zusätzliche Belastung der Spannungsquelle Bild Spannungsmessung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Innenwiderstand des Messgerätes R Innenwiderstand = R i R i : zusätzlicher Strom R i möglichst groß mit Bild 2.20b. Spannungsmessung

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Aufbau: Zeigerausschlag ist proportional des Messstromes I Messwerk zeigt wegen der Trägheit immer den zeitlichen Mittelwert des Messstromes an Gleichstrommessung; Wechselstrom nach Gleichrichtung Bild Drehspule in radialhomogenen Feld (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 216, 2005]) Skala Feder Magnet Zeiger Anschlussklemme Spule Mess- strom Mess- strom

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Skala Feder Magnet Zeiger Anschlussklemme Spule

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.6: Eigenverbrauch eines Drehspulmesswerks Lösung: Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag: P MW ? Gegeben: Gesucht: Widerstand des Messwerks: Strom des Messwerks bei Vollausschlag: (Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Klassengenauigkeit Fehler = Abweichung des angezeigten Stromes vom wahren Strom Klassenzeichen: Anzeigefehler in Prozent vom Vollausschlag Präzisionsinstrumente Klassen 0,1 ( ± 0,1 % ); 0,2; 0,5 Betriebsinstrumente Klassen 1; 1,5; 2,5; 5 (alte analoge Technik!)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.7: Messgenauigkeit eine Drehspulinstrumentes Klasse 1,5 im Messbereich 300 mA? z. B. abgelesen 150 mA heißt wahrer Wert Fehler: entspricht Abweichung vom Messwert! Maximale Abweichung 1,5 % von 300 mA, also Lösung: abgelesen 50 mA heißt wahrer Wert Fehler: entspricht Abweichung ± 9 % vom Messwert Fehler: entspricht Abweichung Daher sinnvoll Messbereichsumschaltung in Stufen 1, 3, 10, 30 … Spannungsmessung mit diesem Instrument: Bei Vollausschlag abgelesen 150mA heißt wahrer Wert vom Messwert, I = 0 … 9 mA

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Messbereichserweiterung Strom-Messbereichserweiterung Strom I bei Vollausschlag: I V Bild Parallelschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 44, 2005]) Stromverhältnis über Stromteiler-Formel: Gesamtstrom über Stromteiler-Formel: Messwerk mit Innenwiderstand R M Parallelgeschalteter Widerstand

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.8: Berechnung eines Parallelwiderstandes zur Strom-Messbereichserweiterung Messwerkwiderstand: Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom: Messbereichserweiterung: Strommessung bis I MV = 1 mA : Bestimme Messwiderstand R P = ? Lösung: Gleichung oben umformen nach G P : Gegeben: Gesucht: (Messwerkwiderstand)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung