Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 03.11.2006 Fr. 8:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 03.11.2006 Fr. 8:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 2 1.5 Energie und Leistung Bewegung einer Ladung ist nach Gl (1.7) mit dem Sind Ladung und Spannung zeitlich veränderlich, erhält man mit der Näherung mit konstanten Werten in den Intervallen Ist der Strom bekannt, wird daraus Gleichung ist nur exakt, wenn U k, I k während Zeitintervall konstant! Genau mit Grenzübergang, überführt Summe in Integral (1.12) (1.14) verbunden ( W positiv -> Abnahme potentielle Energie). Energieumsatz mit Gl. (1.7) lautete: (1.13)

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 3 1.5 Energie und Leistung Sonderfall Gleichstrom: u = const. = U und i = const. = I ergibt ( W positiv -> I in Bewegungsrichtung der Ladungen -> Energie wird vom Stromkreis an Umgebung abgegeben ) Ws ist oftmals als Maßeinheit zu klein, deswegen wird oft die Maßeinheit Kilowattstunde benutzt: (1.15) Einheit der Energie: Umrechnung zu anderen gebräuchlichen Einheiten: (siehe Abschnitt 0.1.3)

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 4 1.5 Energie und Leistung Bei einer zeitlich veränderlichen Leistung, p( t ), kommt man über die Mittelwertbildung in kleinen Intervallen zum Augenblickswert der Leistung durch Differenzieren (1.17) (1.16) Leistung ist definiert als Mit Gl. (1.15) folgt Damit folgt für die Leistung

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 5 Beispiel: Wiederaufladbare Nickel-Cadmium-Kleinakkumulatoren (NiCd-Akkus) Bei Lieferung enthalten die NiCd-Akkus eine Restladung und müssen vor Benutzung mit dem angegeben Dauerstrom aufgeladen werden. Der Innenwiderstand der Zellen ist klein und sie müssen mit einem konstantem Gleichstrom aufgeladen werden. Dafür stehen spezielle Akkuladegeräte zur Verfügung. a) Wie groß ist die theoretische Aufladezeit für alle Kleinakkutypen gemäß Tabelle? b) Welche el. Ladung in Coulomb (1 C = 1 As) hat ein Block 9 V gespeichert, der voll aufgeladen ist? (Die übliche Ladezeit beträgt 14 h!) Tabelle Technische Angaben c) Wieviel el. Arbeit in Ws (1 Ws = 1 V 1 C) könnte eine voll aufgeladene Mignonzelle verrichten, wenn sie ihre gesamte gespeicherte Energie abgeben würde?

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 6 GET I - Übersicht 0. Einheiten und Gleichungen (S. 13, CW, Band I, 9. Aufl.) 1. Grundlegende Begriffe (S. 17, CW, Band I, 9. Aufl.) 2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen (S. 26, CW, Band I, 9. Aufl.) 3. Elektrostatische Felder (S. 153, CW, Band I, 9. Aufl.) 4. Stationäre elektrische Strömungsfelder (S. 201, CW, Band I, 9. Aufl.) 5. Stationäre Magnetfelder (S. 211, CW, Band I, 9. Aufl.)

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 7 2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen 2.1 Grundgesetze 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz (2.1) Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005]) Bild 2.2. Kennlinie U = f(I) eines Ohmschen Widerstandes (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005]) Ohmsches Gesetz: (2.2a) Kraftwirkung auf die Leitungselektronen des Widerstandes R Stromfluss I (2.2b) (2.2c)

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 8 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert (2.4b) Ohmsches Gesetz mit dem Leitwert Formel- zeichen SI-Einheitdeutsche Bezeichnungenglische Bezeichnung QAs elektrische Ladungelectric charge IA elektrischer Stromelectric current UV elektrische Spannungelectric voltage RΩ elektrischer Widerstand elektrische Widerstandswert electric resistor electric resistance GS = 1/Ω elektrische Leitwertelectric conductance (2.3) (2.4a) (2.4c)

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 9 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes ρ : Metalle: ► nicht stromabhängig ► aber temperaturabhängig! ► spezifischer Widerstand nimmt mit der Temperatur zu Legierungen: ► zeigen ein anders geartetes Verhalten, ► z. B. Manganin ( 86 % Cu, 12 % Mn, 2 % Ni ) Abnahme ρ zwischen 35... 200 o C Manganin wird häufig als Meßdraht eingesetzt, da seine elektrische Leitfähigkeit weitgehend temperatur- unabhängig ist. Elektrische Ströme können dadurch über weite Bereiche sehr genau erfasst werden. Bild 2.3. Temperaturabhängigkeit spezifischer Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 27, 2005]) Manganin Blei Eisen Aluminium Kupfer Ohmsches Gesetz Nur wenn Temperatur T = konstant ist! Lineares Verhalten!

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 10 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz und für eine Näherung bis zum quadratischen Term einer Potenzreihennäherung Näherung durch linearen Term (Geradengleichung) Bei T = 20 °C gilt für die Näherung durch einen linearen Term (Geradengleichung) mit

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 11 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz Temperaturabhängigkeit des Widerstands durch Potenzreihenentwicklung Spezifischer Widerstand und Temperaturbeiwerte verschiedener Materialien

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 12 2.1.1 Das Ohmsche Gesetz Spezifischer Widerstand und Temperaturbeiwerte verschiedener Materialien

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 13 Beispiel 2.1: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes Gegeben: Spule aus Kupferdraht hat bei ϑ k = 15 o C den Widerstandswert R k = 20 Ω und betriebswarm den R w = 28 Ω. Gesucht: Welche Temperatur ϑ w hat die betriebswarme Spule? Lösung: Zwischen dem Wert des Spulenwiderstandes bei und dem Wert (Widerstand bei 20 o C ) gilt die Beziehung und bei Die Unbekannte R 20 kann über die Division eliminiert werden Umstellen

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 14 Beispiel 2.1: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes Bekannt (s. Tabelle) ist der Temperaturbeiwert von Kupfer

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 15 Beispiel: Solarthermie – Temperaturfühler im Kollektor: Pt 1000 Temperaturabhängigkeit des Widerstands durch Potenzreihenentwicklung Pt 1000: Platin-Temperaturfühler mit -10960,86 01000,00 101039,03 201077,94 301116,73 401155,41 501193,97 601232,42 701270,75 801308,97 901347,07 1001385,06

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 16 2.1.2 Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz) Bild 2.4a: Summe der ► zufließenden Ströme I 1, I 2, I 3 ► abfließenden Ströme I 4, I 5 Allgemein gilt Bild 2.4b: Alle Zählpfeile (Stromrichtungen) gleich zum Knoten orientieren ergibt Bild 2.4a. Knoten mit 3 zufließenden und 2 abfließenden Strömen Bild 2.4b. Knoten mit 5 abfließenden Strömen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 30, 2005]) a) b)

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 17 2.1.2 Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz) Knotengleichung 1. Kirchhoffsche Gesetz (2.5) 1. Kirchhoffsche Gesetz gilt für das gesamte Netzwerk! (siehe Beispiel) (lies: Die Summe über alle Ströme in einem Knoten ist gleich Null! Bild 2.5. Knoten mit n abfließenden Strömen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 31, 2005]) Gustav Robert Kirchhoff (* 12.03.1824 in Königsberg (heute Kaliningrad), Ostpreußen; † 17.10.1887 in Berlin) war ein deutscher Physiker, der sich insbesondere um die Erforschung der Elektrizität verdient gemacht hat. Kirchhoff ist bekannt für seine Regeln der elektrischen Stromkreise, die die Abhängigkeit der elektrischen Spannung, elektrischen Stroms und des elektrischen Widerstands angeben und die fundamental für Aufbau und Analyse elektrischer Schaltungen und die Elektrotechnik sind (Kirchhoffsche Regeln)

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 18 Beispiel 2.2: Zweimaschiges Netz als Großknoten Netz nach Bild 2.6 aus Ohmschen Widerständen. ( ► alternativ mit anderen Strompfeilrichtungen durchrechnen! ► andere Knotenabgrenzung / Hülle durch Netzwerk führt zu weiteren Strömen in der Gleichung ) Summe aller abfließenden Ströme Bild 2.6. Zusammenfassung von vier Knoten zu einem Großknoten (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 31, 2005])

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 19 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) (2.6) Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005]) Betrachte: Stromkreis aus Batterie (Erzeuger) und Widerstand (Verbraucher) Erzeugerspannung = Batteriespannung = Quellenspannung Verbraucherspannung = Spannungsabfall Für diesen "einfachen" geschlossen Stromkreis ist die Erzeugerspannung = der Verbraucherspannung

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 20 Beispiel 2.3: Umlaufgleichungen in einem zweimaschigen Netz Anstelle der einfachen Schaltung in Bild 2.1 soll nun eine verzweigte Schaltung nach Bild 2.7 betrachtet werden. Lösung: (Umläufe im Uhrzeigersinn) 3 Umläufe sind möglich, für jeden gilt Gl. (2.6) Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005]) 1 M

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 21 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) Alternativ kann Gl. 2.6 aus einer Leistungsbetrachtung abgeleitet werden! Widerstände nehmen auf: Leistungsbilanz also Abgegebene elektrische Leistung der Batterie: Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005])

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 22 Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005]) 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) 1. Kirchhoffsches Gesetz am Knoten Leistungsbilanz

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 23 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) Daher muss sie auch gelten, wenn R 2 oder R 3 unendlich I 1 kürzen d. h. I 2 = 0 :

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 24 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) Wenn R 1 unendlich, I 2 kürzen d.h. I 1 =0 : Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005])

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 25 2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz) Allgemeingültig für jeden beliebigen vollständigen Umlauf in einem Netzwerk (gilt NICHT bei Induktionswirkungen (siehe Kapitel 6.1 Induktionswirkungen), d.h. wenn zeitlich veränderliches magnetisches Feld durch die vom Umlauf berandete Fläche tritt!) Umlauf- oder Maschengleichung 2. Kirchhoffsche Gesetz (2.7) (lies: Die Summe über alle Spannungen in einem Netzwerkumlauf oder einer Netzwerkmasche ist gleich Null!)

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 26 Knotengleichung und Umlauf- oder Maschengleichung =1. und 2. Kirchhoffsches Gesetz (lies: Die Summe über alle Spannungen in einem Netzwerkumlauf oder einer Netzwerkmasche ist gleich Null!) Umlauf- oder Maschengleichung 2. Kirchhoffsche Gesetz Knotengleichung 1. Kirchhoffsche Gesetz (lies: Die Summe über alle Ströme in einem Netzwerkknoten ist gleich Null! Gustav Robert Kirchhoff (* 12.03.1824 in Königsberg (heute Kaliningrad), Ostpreußen; † 17.10.1887 in Berlin) war ein deutscher Physiker, der sich insbesondere um die Erforschung der Elektrizität verdient gemacht hat. Kirchhoff ist bekannt für seine Regeln der elektrischen Stromkreise, die die Abhängigkeit der elektrischen Spannung, elektrischen Stroms und des elektrischen Widerstands angeben und die fundamental für Aufbau und Analyse elektrischer Schaltungen und die Elektrotechnik sind (Kirchhoffsche Regeln) Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005]) K1K1

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 27 Ende der Vorlesung