Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 05.12.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Präsentation zum Thema: "Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 05.12.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)"—  Präsentation transkript:

1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 05.12.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 2 2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes liefert 16 verschiedene vollständige Bäume Tipps: Baum so legen, dass möglichst einfache Umläufe entstehen (a) gut, da Umläufe wie Maschen (c) schlecht für I 6, da Umlauf über Zweige 1, 2,5 Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 3 2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes  Umläufe mit möglichst wenig Kopplungen wählen gibt viele Nullen in Widerstandmatrix (a) gut ▶ Vorgegebene Ströme/Stromquellen in Verbindungszweige legen -> Damit werden sofort entsprechend viele Variablen zu bekannten Größen ▶ Baum so legen, dass gesuchte Ströme in den Verbindungszweigen liegen (nicht immer möglich) ▶ Spannungsquellen in Verbindungszweige legen -> Dann nur einmal für den entsprechenden Umlaufstrom im Gleichungssystem vorhanden ▶ Schaltungssymmetrie ausnutzen (siehe Bsp. 2.29), um schnell Unbekannte eliminieren zu können Widerstands- matrix dazu: Bild 2.91. Zwei vollständige Bäume für eine viermaschige Kettenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 100, 2005]) (b) schlecht, Zweig 1 verkoppelt alle Ströme Widerstands- matrix dazu: Widerstandsmatrix ist voll besetzt! -> Unvorteilhaft! Widerstandsmatrix hat Null-Einträge! -> Dies ist für die Lösung vorteilhaft!

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 4 2.8.4. Knotenanalyse 2.8.4.1 Abhängige und unabhängige Spannungen ► Mit den Spannungen, U Q1, U Q2, U Q3, in allen 3 Baumzweigen sind alle Spannungen festgelegt! Daher Definition: ► unabhängige Spannungen in Baumzweige legen ► abhängige Spannungen in Verbindungszweigen legen! anders als bei der Umlaufanalyse! Bild 2.92. Unabhängige Spannungen in den Baumzweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 101, 2005]) ► Es wäre unmöglich die Spannungen an den Zweigen 4, 5 und 6 vorgeben, da für den äußeren Umlauf ( ) gilt

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 5 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Spannungsquelle durch Ersatzstromquelle ersetzen: Innenleitwert Kurzschlussstrom Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Netzstruktur: Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Spannungs- quelle in Strom- quelle umwandeln

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 6 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Ohmsches Gesetz für die 6 Leitwerte: Knotengleichungen: Knoten K B : Knoten K C : Spannungen in den Verbindungszweigen über die Umlaufgleichungen: Knoten K A : Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Gleichungen nach dem Ohmschen Gesetz in die oben stehenden Knotengleichungen einsetzen:

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 7 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Die abhängigen Spannungen mithilfe der Umlaufgleichungen ersetzen Spannungsvektor besteht aus den unabhängigen Spannungen in Baumzweigen Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005]) Nach den Spannungen umsortieren: In Matrixform schreiben Stromvektor besteht aus den Strömen der Stromquellen Leitwertmatrix

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 8 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Als Matrixgleichung schreiben Die erste Zeile der Leitwertmatrix entsteht aus Knoten A : Allgemein: Die Leitwertmatrix besteht aus den Knotenleitwerten auf der Hauptdiagonalen und den symmetrisch liegenden Kopplungsleitwerten auf den Nebendiagonalen. Knotenleitwert G 1 + G 4 + G 6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 6 Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 102, 2005]) Leitwertmatrix Spannungs- vektor Strom- vektor

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 9 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten: 1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln. 2. ► Bezugsknoten auswählen. Hinweis: Einen Knoten auswählen, der mit möglichst vielen anderen Knoten verbunden ist. ► Sternförmigen vollständigen Baum bilden: Ausgehend vom Bezugsknoten werden die Verbindungen zu allen anderen K – 1 Knoten des Netzes, d.h. die Baumzweige, eingezeichnet. Ggf. zusätzliche Leitwerte G = 0 für Knoten ohne Verbindung zum Bezugsknoten einfügen. 3. Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige eintragen, d. h. die Spannungen von jedem der K – 1 Knoten zum Bezugsknoten mit Richtung auf den Bezugsknoten eintragen. Leitwertmatrix ist symmetrisch! Der Index,, T" steht für transponiert!

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 10 2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen Für jeden Knoten i = 1,…,K - 1 – außer dem Bezugsknoten – wird jetzt eine Gleichung (Zeile in dem Gleichungssystem) aufgestellt: 4. Leitwertmatrix [G] a) Hauptdiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: G ij für i = j sind die Knotenleitwerte, d.h. die sich aus der Parallelschaltung aller im Knoten i zusammentreffenden Zweig-Leitwerte ergeben. b) Nebendiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: G ij für i ≠ j sind die Kopplungsleitwerte, d.h. die Summe aller Leitwerte der Verbindungszweige, die den Knoten j direkt mit dem aktuellen Knoten i verbinden: Vorzeichen wegen 2. und 3. immer negativ! Hinweis: Die Leitwertmatrix ist symmetrisch, d. h. es gilt für die Kopplungsleitwerte G ij = G ji. i ≠ j. 5. Spannungsvektor {U}: Die Elemente des Spannungsvektors U i, i = 1,…,K-1 sind alle K - 1 unabhängigen Spannungen, d. h. die Spannungen längs der Baumzweige. 6.Stromvektor des Quellströme {I Q }: Die Elemente des Stromvektors I i, i = 1,…,K-1, werden aus der Summe aller Quellströme gebildet, die am betrachteten Knoten i angeschlossen sind: ► positives Vorzeichen, wenn der Strom in den Knoten hineinfließt ► negatives Vorzeichen, wenn der Strom aus dem Knoten herausfließt Leitwertmatrix ist symmetrisch! Der Index,, T" steht für transponiert! Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 11 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Gegeben: Leitwerte und Quellstrom Bezugsknoten D: A lle unabhängigen Spannungen, U 1, U 2, U 3, zeigen von dem jeweiligen Knoten, A, B, C, auf den Bezugsknoten D Lösung: Bild 2.94. Dreimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle: (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 104, 2005]) Gesucht: Die Spannung U 3 ist gesucht. Umzeichnung der Schaltung ergibt:

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 12 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle z.B. Bezugsknoten D erden! Ist z. B. bei der Schaltungssimulation mit SPICE erforderlich. SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis ElectronicsWORKBENCH - MultiSIM OrCAD – Capture CIS

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 13 PSPICE – PC-Version von SPICE – CAD-Schaltungssimulation (SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) PSPICE www.orcad.com OrCAD 9.1 Studentenversion http://www.electronicsworkbench.com/ OrCAD 15.7 Demo CD

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 14 PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation - Schaltung

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 15 PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation Gleichstromanalyse (DC-Analyse) - Simulationsergebnisse

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 16 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 6

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 17 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U 3 ist G 5

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 18 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle Knoten- leitwert Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger Spannung U 1 ist G 6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U 2 ist G 5

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 19 Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle 3. Gl. *3: dann alle addieren, U 3 bleibt übrig: Oder über Cramersche Regel!

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 20 Ende der Vorlesung