Physik der Musikinstrumente T. Lohse, M. zur Nedden SS 03 Physik der Musikinstrumente Vorbemerkung: Menschliches Ohr Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium

Beispiele schwingender Systeme: Saiten Geige, Gittarre, Klavier, ... Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten, ... Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell, ... Platten, Stäbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel, ... Schalen Becken, Glocke, ... Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkörper, Orgelpfeife, ... Luft-Wellenleiter Flöte, Trompete, Horn, ... Physikalische Grundlagen: Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien Hydrodynamik Lineare und nichtlineare Schwingungen

1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung 1. Schwingende Systeme 1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung Anfangsbedingungen  |A|, φ bzw. a, b reelle (physikalische) Lösung: komplexe Lösung: ω0: Eigenfrequenz A = |A|·eiφ: komplexe Amplitude φ: Phase Bewegungsgleichung:

Beispiele: L m D I Q C z S L Helmholtz-Resonator: Schallgeschwindigkeit

1.2. Dämpfung Bewegungsgleichung: α: Dämpfungskonstante α < ω0: Schwingfall (musikalischer Normalfall) α = ω0: aperiodischer Grenzfall α > ω0: Kriechfall

Beispiele: I L R Q C z D γ m Musikinstrumente: „Kleine Dämpfung“ α  ω0  quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω

 Energieverlust bei kleiner Dämpfung: ½ Güte: Dämpfungszeit:  const. ½  Dämpfungszeit: Güte: #Schwingungen in τD:

Beispiel: Güte: T37% = Q/π = 2τD T14% = Q/2π = 4τD Impulsanregung

m 1.3. Erzwungene Schwingungen z 1.3.1. Übersicht D F(t) γ Bewegungsgleichung: f(t): externe Anregung Musikinstrument: f(t) periodisch Fourierzerlegung: f(t) harmonisch

xh(t): xs(t): Lösung: x(t) = xh(t) + xs(t) Einschwingvorgang gedämpft  Lösung der homogenen Gleichung ( f  0 ) festgelegt durch Anfangsbedingungen xs(t): Asymptotische, stabile Schwingung für spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung unabhängig von Anfangsbedingungen festgelegt durch ω0, α, f0, ω

1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t   ) Komplexe... Amplitude: x0 = | x0|·eiφ Geschwindigkeit: v0 = iω·x0 Beschleunigung: a0 = iω·v0 = -ω2 x0

Definitionen: (mechanische) Impedanz: Admittanz (bzw. Mobilität): Widerstand (dissipativer Teil): Reaktanz (reaktiver Teil):

Definitionen: = Güte Resonanzamplitude: Gleichgewichtsamplitude: Resonanzverstärkung: = Güte

 Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB) Dämpfung Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a, ...) und andere Bezugspunkte

Resonanzkurve und Phasenschub: Resonanz-dominiert 0,25 0,70 3 dB 1/Q 4 1,43 Feder-dominiert Masse-dominiert

Resonanzkurve und Phasenschub: 0,25 0,70 3 dB 1/Q 4 1,43 ω  0 Steigung ω   Steigung |x0| const. 0 dB/Oktave  1/ω2 -12 dB/Oktave |v0|  ω 6 dB/Oktave  1/ω -6 dB/Oktave |a0|  ω2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave 1 Oktave  Faktor 2 in ω  [ ω , 2ω ]

Darstellungen von Impedanz und Admittanz R = Re Z X = Im Z Nyquist-Diagramm ω Q ω = ω0 ω  0 ω   Q = 4 G = Re Y B = Im Y |Y|

Plötzliche sin-Anregung ab t=0 1.3.3. Der Einschwingvorgang von ω+ω0 mit |ω-ω0| Form: Anfangsbedingungen (Anregung) Einschwingdauer: einige τD Komponenten:  Schwebung Q = 10 0,2 0,8 1,0 1,2 2,0 4,0 Plötzliche sin-Anregung ab t=0

1.3.4. Elektrisches Äquivalent mechanische Parallelschaltung  elektrische Serienschaltung vB vA v1 = vB-vA v2 = v1 I1 I2 = I1 mechanische Serienschaltung  elektrische Parallelschaltung I1 I2 I I = I1+I2 v = vC-vA = v1+v2 vC vA vB v1 = vB-vA v2 = vC-vB

L m γ R C D - + IL vm xγ IR xD QC Kraft  elektrische Spannung Geschwindigkeitsverläufe Kräftegleichgewichte Analysiere im Einzelfall:

F = FMasse + FDämpfer + FFeder Beispiel 1: vFeder = vDämpfer = vMasse F = FMasse + FDämpfer + FFeder D γ m x F(t) ~

v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer Beispiel 2: v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer F = FMasse = FDämpfer + FFeder x m D γ F(t) xm ~

~ m Beispiel 3: xm x v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse F = FDämpfer = FMasse + FFeder m xm D γ F(t) x ~

1.4. Gekoppelte Schwingungen Zerlegung: stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden Eine Eigenfrequenz pro Mode eine Mode pro Freiheitsgrad

1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger Da γa ma xa DK Db γb mb xb La Rb CK Ra Cb Ca Lb Ia Ib Bewegungsgleichung:

Lösung: Zwei Eigenfrequenzen Musikinstrumente: kleine Dämpfung  Vereinfachte Diskussion für αa = αb = 0 Ansatz: xa , xb  eiωt  Lösung: Zwei Eigenfrequenzen

Diskussion: keine Kopplung  ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b Kopplung  0  ωb/ωa  0: ω1ωb , ω2ωa ωb/ωa  : ω1ωa , ω2ωb keine Kopplung  ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b Minimale Frequenzaufspaltung: bei ωa = ωb

~ 1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt): D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Anwendungen: m2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen m1 1/D2 1/D1 m2 ~ F0·eiωt Nach Einschwingen: Dämpfung vernachlässigt reell

D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Resonanzen Antiresonanz (x10 = 0, x20 = max) Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F0 ) ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε: ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε: ω = ωA: ω = ωA:

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden gleichgerichtet  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz entgegengesetzt  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε: ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε: ω = ωA: ω = ωA: D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden entgegengesetzt  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum gleichgerichtet  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz Folgerung: P2 = P1  Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen. Beispiel: 2-D-System Treiberpunkt Transferpunkt

1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs P1: Erreger P2: Sensor  Wichtiger Spezialfall: P1 = P2 Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung Messverfahren: Impedanzkopf Impedanzkopf Nahfeld Schallwellen (Mikrophon) mechanische Schreiber holographische Interferometrie

Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen: Nachgiebigkeit (Compliance) Kapazität Mobilität, Admittanz Leitwert Acceleranz 1 / Induktivität Steifigkeit 1 / Kapazität Impedanz Impedanz Dynamische Masse Induktivität

P1 = P2: Präfix „Treiber(punkt)-“ P1  P2: Präfix „Transfer-“ Beispiel: D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Treiber-Mobilität: Transfer-Mobilität:

Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz ωmin: größte Resonanzfrequenz ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12 ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0 Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität Acceleranz Steifigkeit Impedanz Dynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz ωmin: größte Resonanzfrequenz ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12 ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0 Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität Acceleranz Steifigkeit Impedanz Dynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur mit 4 Schwingungsmoden Schwingungsrichtung am Messpunkt relativ zum Treiberpunkt ... bleibt gleich klappt um ω1 ω2 ω3 ω4 6 dB / Oktave Antiresonanz -6 dB / Oktave

z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter: z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X |Z|(ω) und φ(ω) Re Z(ω) und Im Z(ω) , z.B. für einzelne Resonanz: Nyquist-Diagramme Im Re ω ωR Nachgiebigkeit x / F Re ω ωR Mobilität v / F Im Im Re ω ωR Acceleranz a / F

 1.5. Nichtlineare Schwingungen Lineare Systeme: ... Superpositionsprinzip Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden komplexe Schreibweisen geeignet x Lösung zu F x' Lösung zu F'  x + x' Lösung zu F + F'

Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge Grenzen des Hookeschen Gesetzes Turbulenz Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit) Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall) Konsequenzen: ω0 = ω0( x0 ) Hysterese-Verhalten in ( x0 , ω0 ) –Diagramm Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)

1.5.1. Analytische Methoden Bewegungsgleichung:

Koeffizientenvergleich Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F0·cos(ωt)  Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten Ansatz: Fourierentwicklung Einsetzen Koeffizientenvergleich

Allgemeines Verfahren: wobei: Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!

 noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal) &  noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal) Näherung: -Terme in g „klein“ (inklusive γ)  a, φ  const. während Periode  Folge:

m D γ=2mα x Beispiel: Schwach gedämpfter, freier, linearer Oszillator Also: Korrekt für ! (vgl. 1.2.)

1.5.2. Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren) Physikalischer Ansatz: D  D + β m x2 (nicht-lineare Dämpfung) d.h. Analytisches Verfahren  oft: Frequenz hängt von Amplitude ab Hysterese bei großen Amplituden

Störungsrechnung: Ansatz: ( f (t) = f0·cos(ωt) , α  0 ) Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme: Freier Oszillator ( f0 = 0 ):

1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich, ...) Musikinstrument  Modulation des Energieflusses Nichtlineare Rückkopplung  selbstangeregte stabile Schwingung Physikalischer Ansatz: 2α  α·( 1 – x2 ) (nicht-lineare Dämpfung) d.h. x  0 ist stets Lösung, aber nicht stabil geeignete α  Grenzzyklen Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen

Van-der-Pol-Oszillator

Starke nichtlineare Modenkopplung 1.5.4. Moden-Stabilisierung ω1  ω2 Musikinstrumente sind ... selbsterregende Multi-Moden-Systeme ... mit annähernd linearem Moden-Verhalten ... und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen (Anharmonizitäten  störende niederfrequente Schwebungen) Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal: Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig Moden-Einrastung (mode-locking) Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig Notwendige Voraussetzung hierfür: Starke nichtlineare Modenkopplung

Beispiel: Moden: ωn , ωm Amplituden: an , am n·ωm  m·ωn n, m   I fast harmonisch: Nichtlineare Kopplungsterme: Der Term ... ... treibt die ωn-Mode  1 Der Term ... ... treibt die ωm-Mode

Wann ist ein Musikinstrument gut ? (  möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein (  Kopplungsamplituden möglichst groß ) Amplituden der gekoppelten Moden ( an , am ) möglichst groß Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß (  Kopplungskoeffizienten cm-1,n , cm,n-1 möglichst groß ) Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt

unendliche homogene Saite 2. Saiten und Stäbe 2.1. Transversale Saitenschwingungen 2.1.1. Wellengleichung x y(x,t) unendliche homogene Saite Massendichte: Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ): x x + dx ds dy T θ(x) θ(x+dx) dFy „Wellengleichung“

Allgemeine Lösung (nach d´Alembert) f1 f2 y(x,t) = f1( c t – x ) + f2( c t – x ) = Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen Fouriertransformation  Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen ( Re(y) = physikalischer Teil ) wobei: Dispersionsrelation ( hier linear, ω  k )

Spezialfall: Stehende Wellen Phasen: Reelle Schreibweise:

Energie der stehenden Welle: Energie des Saitenstücks der Länge :

2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!) Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand Bemerkung: Z0 ist reell (  verlustfreie Saite ) Charakteristische Admittanz Definition: Eingangsimpedanz x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Geschwindigkeit des Eingangs-Aufhängepunktes: Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)

Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite  nur rechtslaufende Welle x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t)

Definition: Abschlussimpedanz x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Zab  physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung (z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige, Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)

Reflexionskoeffizient: Reflexion am Abschlusspunkt: y(x,t) = a ei ω t ( e – i kx + R·ei kx ) Einlaufend: a ei ( ωt – kx ) reflektiert: R·a ei ( ωt + kx ) Reflexionskoeffizient: fixiertes Ende: y(0,t) = 0  u = 0  Zab =   R = –1 offenes Ende:  f = 0  Zab = 0  R = +1

Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite Zab R Saite: Z0 L x = 0 fixiertes Ende: R = –1  Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen: Zin = 0  k L = ( n – ½ ) π  λn = 2L / ( n – ½ ) Antiresonanzen: Zin =   k L = n π  λn = 2L / n offenes Ende: R = +1  Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0  Zin = Z0 = Zab

2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite a) fixierte / offene Enden fix - fix offen - offen offen - fix fix - offen nicht ganz harmonisch harmonisch klingt eine Oktave tiefer

b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende x y T θ Zab: horizontale Halterung ( x = L ) u(t) f(t) Z0 Fixierung bei x = 0

i) Massenartiger Abschluss x y u(t) Z0 = μ c m Saitenmasse: M = μ L L Also:

ii) Federartiger Abschluss x y u(t) Z0 L D/2 Also:

k2 k1 k0 k3 massenartig:  harmonisch angehobene Frequenz federartig:  harmonisch abgesenkte Frequenz

2.1.3. Dämpfung Luftdämpfung: Interne Dämpfung ν = Frequenz ρ = Saitendichte r = Saitenradius Luftdämpfung: Interne Dämpfung Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator) E( ν, T, ...) = komplexer Elestizitätsmodul G = Re( Y ) Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite

2.1.4. Anregung a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren): Fourier-Analyse Anfangsauslenkung Modenamplituden  Frequenzspektrum Fourier-Synthese Zeitentwicklung der Modenamplituden freie Saitenschwingung

Beispiel: Gezupfte Saite h β·L Beispiel: Gezupfte Saite β = 1/3 n β = 1/10 n

Beispiel: Gezupfte Saite h β·L Beispiel: Gezupfte Saite β = 1/3 β = 1/10 En ( dB ) –6 dB / Oktave –6 dB / Oktave lg(n) lg(n)

Bewegung der gezupften Saite:

L V β·L Δ b) Hammer-Anregung: Idealfall: β = 1/3 n β = 1/10 n

b) Hammer-Anregung: L β = 1/3 β = 1/10 lg(n) lg(n) Δ V Idealfall: β·L 0 dB / Oktave β = 1/10 0 dB / Oktave En ( dB ) lg(n) lg(n)

Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers: v(t) T x xH y Bremszeit: v(t) c T t / τ = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Weitere Komplikationen: Hammer-Nachgiebigkeit Hammermaße Reflexionen an Einspannung, Rückwirkung auf Hammer

Modenspektrum stets flacher (  reicher, voller ) als beim Zupfen Anschlag MHammer « MSaite MHammer = 0,4/β · MSaite n = 0,73 MSaite / MHammer Anregung beendet – 6 dB/Oktave Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von , nicht nur von

c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Mehrfachsprünge möglich Streichgeschwindigkeit  Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave ) Zeit Auslenkung beim Bogen Mittlere Auslenkung Ruheposition der Saite

(reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant) 2.2. Saiten und dünner Stäbe: Longitudinalschwingungen Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte  Elastizitätsmodul (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant) dx S dw F(t) Hookesches Gesetz: Dichte ρ = μ / S E = Youngsches Modul Wellengleichung: Lösungen, Randbedingungen, ... analog zu transversalen Saitenschwingungen

2.3. Biegewellen von Balken und Stäben gedehnt Querschnitt S u v Dichte ρ Neutrale Faser x z vNF gestaucht Neutrale Faser: z ( x , t ) Ruhelage: z0 ( x , t ) Auslenkung: y ( x , t ) = z ( x , t ) – z0 ( x , t ) Rücktreibende Kraft pro Länge: E = Young-Modul Wellengleichung:

Lösung der Wellengleichung: Einsetzen: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

 zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.: frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt:

beidseitig unterstützt bzw. eingehängt Eigenmoden und Eigenfrequenzen: ωn in Einheiten von beidseitig unterstützt bzw. eingehängt L einseitig eigeklemmt beidseitig frei Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch Knotenpositionen nicht äquidistant Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen

Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft 2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 eingehängte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft 2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte / eingehängte Enden B = 0 B = 0,005 B = 0,01

massen-belastete Saite Beeinflussung der Dispersionsrelation: steife Saite k ω ideale Saite Grenz-Frequenz massen-belastete Saite (z.B. Ummantelung)

Young-Modul E  Torsionsmodul G 2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben Young-Modul E  Torsionsmodul G homogenes, isotropes Material: ( ν = Poisson-Zahl ) Dispersionsrelation linear: Saiten: • cT typisch 3 ... 8 mal so groß wie c • starke innere Dämpfung Abhängigkeit von cT von Querschnittsform:

3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: 1-D-System 2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt Knotenlinie

3.1. Membranen x y z Einspannung Massendichte: Spannung: T ds = Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ): 2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl  Form der Einspannung (Transversalschwingung) Rechteckmembran Kreismembran

Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Statische Auslenkung: θ T ds F = 0 für Angriffspunkt Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite Membran

Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: x y z Lx Ly m = 1 n = 1 m = 2 n = 1 m = 1 n = 2 m = 2 n = 2 Quadratische Membran Lx = Ly Entartung ωmn = ωnm Modenüberlagerung möglich m = 3 n = 1 m = 3 n = 2

Schwingungsmoden von Kreismembranen: x y z 2R m = 0 n = 1 m = 1 n = 1 ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2

Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

3.2. Dünne isotrope Platten x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h Massendichte: a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung „Unendliches“ Medium (rel. zu λ) „Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten

y z x frei / einfach unterstützt / eingespannt Massendichte: h b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben) „Unendliches“ Medium oder „unedlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)

Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h Massendichte: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

Beispiel: Die dünne Kreisplatte z h R Beispiel: Die dünne Kreisplatte Hyperbolische Besselfunktionen: Im(k r) = i – m Jm(k r) eingespannt einfach unterstützt frei

Asymptotisches Spektrum: z h R Asymptotisches Spektrum: Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz) Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:

Beispiel: Die dünne Rechteckplatte z h Lx Ly Beispiel: Die dünne Rechteckplatte ( i.a. schwieriges Problem ) (x,y) – Kopplung Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,... Freie Platte:

Messung an freier Aluminiumplatte (x,y) – Kopplung bei Lx  Ly: Ringmode Modenaustausch Diagonal-Mode (X-Mode) Lx = const. Lx / Ly

Fundamentalmoden quadratischer Platten: frei ( ν = 0,3 ) einfach unterstützt eingespannt ( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )

Moden quadratischer Platten: frei ( ν = 0,3 ) eingespannt

Modenspektren quadratischer Platten: eingespannt einfach unterstützt frei ( ν = 0,3 )

(orthotrop, 9 elastische Parameter) 3.3. Dünne Holzplatten Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlänge Jahresringe senkrecht zur Platte  Länge / Breite  3 / 1 Fichtenholz (orthotrop, 9 elastische Parameter) Qualitative Eigenschaften ähnlich, ... aber E  Ex , Ey ν2  νxy νyx

Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode Beispiel: Freie Viola-Deckel (2,0) – (0,2) X-Mode (2,0) + (0,2) Ring-Mode Rücken Front Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode Rücken Front

3.4. Schalen Schalendimension: a Schalendicke: h Schalenwölbung: H Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant: Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper Kugelschalensegmente (Becken,...) Zylinderschalen (Zylinderglocken,...) Kirchenglocken Modenklassifizierung (Love, Rayleigh): Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster Ordnung Linienmasse  h Federkonstante  h Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster Ordnung Schalenmasse  h Federkonstante  h3 ω(h) = const. ω(h)  h2 Empirische Modenparametrisierung:

Beispiel: Flache sphärische Schale Niedrigste Mode: k a = μ (abhängig von Einspannung) Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = μ0 Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H  gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung

Schallwellen = longitudinale Druckwellen 4. Schall in Luft 4.1. Schallwellen Gesamtluftdruck: pL Akustischer Druck: Elastischer Scherungswiderstand Reibungswiderstand Eleastischer Kompressionswiderstand Schallwellen = longitudinale Druckwellen Wellengleichung: Schallgeschwindigkeit c: Kompressionsmodul K: Dichte ρ:

4.1.1. Schallgeschwindigkeit Luft ist ideales Gas  pLV = N k T Luft  zweiatomig  1. Hauptsatz   Isothermer Fall ( T = const. ): Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ): Für Musikinstrumente nur in Extremfällen interessant

c2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhängig vom Luftdruck Wellengleichung: c2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhängig vom Luftdruck mL und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:

4.1.2. Strömungsfeld Wellengleichung: Bewegungsgleichung: Strömungsgeschwindigkeitsdichte-Feld Wellengleichung: Bewegungsgleichung: p  Potential  Spannung u  Geschwindigkeit  Strom Lösung (Superposition ebener Wellen): Folge: (spezifische akustische) Impedanz Ohmsches Gesetz

4.1.3. Kugelwellen Wellengleichung: Bewegungsgleichung: Sphärisch symmetrische Quelle  Wellengleichung: Bewegungsgleichung: Lösung (Kugelwelle): auslaufend einlaufend Akustische Impedanz:

Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstärke (in Phon) 4.1.4. Druckpegel, Lautstärke, Intensität Druckpegel: Druckpegel (dB) Frequenz (Hz) Schmerzgrenze: 120 Phon Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstärke (in Phon) Hörschwelle: 0 Phon

dA Intensität an einer Fläche: Komplexe Schreibweise: Intensitätspegel: Ebene Wellen: LI  LP

Ebene Welle: Kugelwelle:

α β α' 4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung Randstrukturen  Gesetze der geometrischen Optik z1 = c1 ρ1 z2 = c2 ρ2 Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche α α' β Reflexionsgesetz: α = α' Brechungsgesetz: Reflexionskoeffizient Transmissionskoeffizient Amplitude: Intensität:

Randstrukturen  Beugung an Rändern Frequenz Wellenlänge 20 Hz 17 m 1 kHz 34 cm 15 kHz 2,3 cm

4.1.6. Dämpfung Ursachen: Viskosität thermische Verluste Molekularer Energieaustausch z.B. Wände von Musikinstrumenten Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%)  α( 10 kHz )  0,1 dB / m  relevant für große Konzertsäle

Starre Wand Impedanz: zW 4.1.7. Hohlraummoden Starre Wand Impedanz: zW An der Wand: Randbedingung: Spezialfall der festen Wand:

Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden c b a : b : c = 1 : 1 : 1 a : b : c = 1 : 2 : 3 Design von Konzertsälen: Gleichmäßige Modendichte bei niedrigen Frequenzen Schlechtes Design Besseres Design

4.2. Schallausstrahlung Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem Multipol-Quellen: Konfiguration von Punktquellen, Abstände klein gegen Wellenlänge Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen Ebene Quellen: Quellfläche in unendlicher Schallwand Unabgeschirmte Quellfläche Unendlich große Platten

Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form! 4.2.1. Kugelstrahler Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form! Definition: Quellstärke a Abgestrahlte Kugelwelle: Intensität:

(  möglichst große Abstrahlfläche günstig ) Gesamtstrahlungsleistung k a P / Fläche v(a) = const Sättigung Musikinstrumente (  möglichst große Abstrahlfläche günstig ) Punktquelle

Mechanische Last an schwingender Oberfläche: X = Im ( Zm ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Zm ): Dissipation durch Abstrahlung

4.2.2. Multipol-Quellen Quellstärke a Abgestrahlte Kugelwelle: Monopol Quellstärke 4.2.2. Multipol-Quellen Abgestrahlte Kugelwelle: Amplitude unabhängig von Quellgröße a  ,,Punktquelle“

Multipolkonfigurationen: Punktquelle: Multipolkonfigurationen: Monopol: +Q Dipol: +Q -Q δz Quadrupol: δz +Q -Q +Q -Q δz δx zunehmend komplexere Winkelverteilung zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen

4.2.3. Überlagerte Punktquellen Strahlung zweier Punktquellen bei : + Q - Q Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit : Komplexes Interferenzmuster P unabhängig von r

Strahlung zweier Punktquellen Monopol 2Q Kohärente Überlagerung Monopol Inkohärente Überlagerung Dipol Q·d

Strahlung von 2N Punktquellen bei : θ + p+ d + – p– θ

θ + p+ d

Lokale Strömungen zwischen +Q und -Q – p– θ d d < λ / 2 völlig ineffizient! Lokale Strömungen zwischen +Q und -Q

4.2.4. Linienquellen (  schwingende Saite) Fundamentalmode: Näherung  starrer dünner Zylinder mit L   φ 2a L  I, P  a4 ω3 sehr ineffizient !

zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen) Höhere Moden: Transversalwelle auf Saite Schallwelle +Q -Q d zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen) Noch viel ineffizienter !

4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand ,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum) Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran Abstrahlung zum Auditorium Effekt der Schallwand: Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen Frequenzen

Kesselpauke (Timpani) Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums Piano Cello Konzertgitarre Kesselpauke (Timpani) Becken Glocke Systeme ohne Schallwand: Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum Wenig Abstrahlung  sehr langes Nachklingen

dS Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral Elementare Kugelwellen dS Volumenfluss (Quellstärke) Raumwinkel der Abstrahlung Relevanter Spezialfall: Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße

Hauptabstrahlungskegel Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung) Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende Hauptabstrahlungskegel Nebenkeule bei –18 dB  Insignifikant !

Akustischer Widerstand der Luft Starre Kreisquelle in Schallwand Pulsierende Kugel X = Im ( Zm ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Zm ): Dissipation durch Abstrahlung

Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m = 0 n = 1 Fundamentalmode Qualitativ wie starre Kreisplatte Effizienter Strahler Quantitativ unterschiedlich: u( r' )  J0( k r' ) m = 0 n = 2 m = 0 Moden: Verbleibende Netto-Monopolkomponente Schwache Strahler m = 1 n = 1 m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 m > 0 Moden: Keine Monopolkomponente Völlig ineffiziente Strahler

4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen Unendliche Schallwand Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungeändertes Verhalten Umschlossener Rückraum Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2π  4π  ½ Strahlungswiderstand  ½ Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) ¼ Intensität ( 6 dB ) Kompensation: Bassreflexwand, Fussboden, ... offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen Starre Platte:

4.2.7. Strahlung von (unendlich) großen Platten Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte Luft ( Dichte ρ ) Schallgeschwindigkeit: Platte ( Dicke h, Dichte ρP ) Abstrahlungsbedingung: λ  λP(ω) bzw. k  kP(ω) bzw. c  vP(ω) Phasengeschwindigkeit:

Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( vP  c ) (Analogon: Machscher Kegel) Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:

4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner) Französ. Horn Orgel Klarinette Blockflöte Saxophon Flügelhorn Oboe Querflöte

4.3.1. Unendliche Zylinderrohre 2a z r φ Ruhende oder gleichmäßig strömende Luft 4.3.1. Unendliche Zylinderrohre Perfekt steife Wand: analog zur Kreismembran kr = kmn quantisiert kz unbeschränkt (keine z-Randbedingung)

Charakteristische Impedanz Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q00 = 0, J0(0) = 1  Ebene Welle: Volumenfluss: Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0 (Wellen-)Impedanz Charakteristische Impedanz Definition:

kmn = 0 Kritische Frequenz: ω > ωc: kmn , z reell  ungedämpfte Ausbreitung ω < ωc: kmn , z imaginär  gedämpfte Ausbreitung ( keine Wellenleitung ) q00 = 0  ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !

Single-Mode-Leitung: 5,32 5,33 3,83 Single-Mode-Leitung: J0 J1 J2 J3 J4 1,84 3,05 4,20 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 0 ) • ( 0 , 1 ) • ( 3 , 0 ) + ( 1 , 1 ) ( 2 , 0 ) etc. Single-Mode-Leitung Ebene Welle

Querschnitt Flussmuster im Längsschnitt ω > ωc ω < ωc Ebene Fundamental-Mode Querschnitt Flussmuster im Längsschnitt ω > ωc ω < ωc

Thermische Leitfähigkeit κ 4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren Verluste in dünnen Randschichten an der Wand: a) Reibungsverluste b) Thermische Verluste a δV Viskosität η a δT Thermische Leitfähigkeit κ Zusammenhang:

... und: k reell  k komplex: Konsequenz: Z0 reell  Z0 komplex ... Einfluss auf Z0 wichtig für rV  10 ... und: k reell  k komplex: α / f [ m-1 Hz -1 ] v / c α  λ-1 für rV  10 Phasengeschwindigkeit sinkt für rV  10

Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ): 1 10 100 1000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm 1 10 100 1000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm Kritischer Bereich

4.3.3. Endliche Zylinderrohre ZL R Saite: Z0 L ( Abschnitt 2.1.2. ) Reflexionskoeffizient: Eingangsimpedanz:

p00 U p00 U Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =  Ideal offenes Rohr: ZL = 0 Ideal offener Eingang: p00 U p00 U

Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0 Schallwand Abschluss durch Schallwand (vgl. 4.2.5.) RL , XL [ Z0 = ρc/S ] Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder 

Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0 Offener Abschluss L Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder 

4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre Typische Situation: rV > 10 Charakteristische Impedanz  Z0 (ungeändert) Kleine Dämpfung α: Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =  Ideal offenes Rohr: ZL = 0

Ideal offenes Rohr: ZL = 0 L = 1 m a = 1 cm (Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddämpfung! L = 1 m a = 5 cm Auswaschung durch Strahlungsdämpfung! (Anti-)Resonanzen nicht ganz harmonisch (gestreckt)

4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre Richtungs-Index

Hornfläche = Koordinatenfläche 4.3.6. Schallwellen in Hörnern Französ. Horn Vereinfachung: gerade, unendlich lang Wellengleichung für Frequenz ω: Randbedingung für ideal steifes Horn: Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten Hornfläche = Koordinatenfläche  konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)

Beispiele: Single-Mode ebene Wellen Single-Mode Kugelwellen Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre Single-Mode ebene Wellen Konische Hörner Single-Mode Kugelwellen Hyperbolische Hörner Single-Mode Welle oblat spheroidal  zylindrisch   konisch  eben   sphärisch Glatter Zylinder-Übergang

Analytische Näherung: Wellenfront x S • a(x) Wellenfront: p  const. x0(x) Lokaler Konus: x0 , θ Sphärische Näherung: x0 , θ nur schwach x-abhängig  S annähernd sphärisch Webster-Gleichung: Für kleine θ: Sphärische Näherung Ebene Näherung

Konstante Intensität I  p2 S  Ansatz: Wellenfront x S • a(x) x0(x) Konstante Intensität I  p2 S  Ansatz: F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion RT RL Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:

4.3.7. Salmon-Hörner (  konstanter Abschneidefrequenz ) S x a(x) Wellenfront x S • a(x) x0(x) Lösung: m = Hornkonstante Wellenleitung  k2 > m2 Hörner = kontinuierliche Impedanzwandler  effiziente Abstrahlung oberhalb ωC Wichtige Spezialfälle: T = 1: Exponentialhorn T = 1: Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) Konisches Horn mit Apex in x0 ( F = 0  kein Frequenzabschnitt )

4.3.8. Endliche konische Hörner L = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cm Zin / Z1 S2 S1 L L = 1 m a = 5 cm Zin / Z0 L S

Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis ( Vereinfachte Darstellung für ZL = 0 ) a1 / a2 ω1 ω2 ω3 ω4 Beidseitig offene Hörner ( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen ) Einseitig geschlossene Hörner ( Rohrblatt- / Lippen- getriebene Blasinstrumente )

4.3.9. Besselhörner γ = 0: Zylinderrohr γ = -1: konisches Horn mit Apex bei x = 0 γ > 0: stark divergente Mündung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )

Besselhörner: Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung): Neumann-Funktion Bessel-Funktion Ideal offenes unendliches Besselhorn:

Besselhornfunktion bei offener Mündung: F    Horn strahlt nicht ab ! Totalreflexion bei F(x)  k2 Ebene-Welle-Näherung Freie Abstrahlung für k2 > Fmax Tunneleffekt Teilabstrahlung für k2 < Fmax Kugelwellen-Näherung

4.3.10. Netzwerkanalyse Allgemeiner Wellenleiter  ( passiver ) elektrischer Vierpol x1 x2 S1 S2 Impedanzmatrix:

Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn x x2 x1 Beobachtung: Z12 = Z21  gilt auch allgemein Reziprozitäts-Theorem: Für beliebige (passive) Hörner gilt

Behandlung zusammengesetzter Hörner: Transportmatrix: Bemerkung: Behandlung zusammengesetzter Hörner: Z(1), A(1) Z(2), A(2) U1 U2 U3 p1 p2 p3 Verkettungsregel:

Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang fmax von Zin (Trompetenmaße) Harmonisches Spektrum bei L1  L2

Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz ZL Eingangsimpedanz:

Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn x x2 x1 Quasistatischer Grenzfall: Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant  = akustische Impedanz eines Hohlraums = akustische Nachgiebigkeit  elektrische Kapazität

Beispiel: Ideal offenes konisches Horn x x2 x1 Quasistatischer Grenzfall: Spezialfall offenes Zylinderrohr: S1 = S2 = S  Allgemein: = akustische Impedanz eines ideal offenen Horns = akustische Trägheit  elektrische Induktivität

Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres Schallfeld pext Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1 L S V Zcav Zpipe Zrad pext U Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres Schallfeld pext ~ Zcav Zpipe Zrad pext U pext  Wechselspannungsquelle Zrad  komplexer Widerstand Zpipe  Induktivität Zcav  Kapazität

Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2 L S V Zcav Zpipe Zrad U U0 Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand Zcav Zpipe Zrad U0 U U0  Wechselstromquelle Zrad  komplexer Widerstand Zpipe  Induktivität Zcav  Kapazität