Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden Copulas und Korrelationsasymmetrien Theorie und empirische Analyse am DAX 30 08. Mai 2008 Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK Gruppe Methoden

Inhalt Einführung in die Copulatheorie Korrelationsmaße und Copulas Lineare Korrelation Spearman‘sche Rangkorrelation Bedingte Korrelationen Korrelations-Asymmetrietest Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30 Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt

Empirische DAX 30 Beispiele Tägliche Log-Renditen vom 02. 03. 1992-01 Kennzahlen Allianz AG BASF AG Münchner Rück AG Mittelwerte .00038 .00062 .00064 Standardabw. .01854 .01645 .01905 Minimum -.1568 -.0871 -.1719 Maximum .1380 .1009 .1653 Schiefe -.0772 -.0570 .1212 Kurtosis 10.5352 5.3732 10.2293 3.8360 5.2276 2.9979

Allianz AG vs. Münchner Rück AG

Allianz AG vs. BASF AG

Sklar‘s Seperationstheorem (1959) FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd)) FX(x1,…,xd) C(u1,…, ud) F1(x1),…, Fd(xd) C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1d(ud)) C(u1,…, ud) G1(x1),…, Gd(xd) G(x1,…,xd)

Copula Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit: Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist. Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1 sind, gilt C(u)= ui. Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi, i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0. → D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d mit uniformen univariaten Randverteilungen

Copuladichte Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt Besitzt FX die Dichte fX , so gilt: →

Spezielle Copulas Die Unabhängigkeitscopula Die Fréchet-Hoeffding Schranken

Bivariate logistische Verteilung

Neue bivariate Verteilungsfunktion G

Spezielle Copulaklassen Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt, dann ist: eine Archimedische Copula.

Clayton Copulafamilie Gumbel Copulafamilie

Elliptische Copulaklasse Gauss Copula tν,R-Copula

Allianz AG vs. Münchner Rück. AG Bravais Pearson 0.70 Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

Korrelationsmaße und Copulas Vorteile : Kompakte Darstellung der Abhängigkeit Leichte Interpretierbarkeit Einfache weiterführende Modelleinbindung Nachteile : Enormer Informationsverlust Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit. Missinterpretationen sind möglich Oft nur globale Korrelationsaussagen In einigen Fällen nicht definiert

Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρBP Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten Benötigt die Existenz der Varianzen |ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs Höffding 1940

Nicht Randverteilungsfrei Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1] Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen Höffding 1940

Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1): Der lineare Korrelationskoeffizient liegt bei normalen Randverteilungen bei bei exponentiellen Randverteilungen bei und bei uniformen Randverteilungen bei

Spearman‘sche Rangkorrelation Definition: Interpretationen:

Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß

Schlußfolgerungen Existent und Randverteilungsfrei Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung

Einige Schätzfunktionen

Asymptotischer Copula-Prozess GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke

Asymptotische Normalität der Schätzfunktion 9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !

Bedingte Korrelationen Allianz AG vs. BASF AG

Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert Der untere Eckbereich sei: Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist

Die bedingten Randverteilungen sind: Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:

Es gilt: Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen. Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz-funktionen

Nichtparametrische Schätzfunktion

Korrelations-Asymmetrietest Asymptotische Normalität der Schätzfunktion Korrelations-Asymmetrietest

Algorithmus: Berechne und aus den Beobachtungen in und Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und , in Notation und , der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman Überprüfe die jeweilige Nullhypothese Verwerfe falls

Verwerfe falls und verwerfe falls gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.

Allianz AG vs. BASF AG

Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. BASF AG

Variable Schwellenwerte (p=q) Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

Teststatistiken (p=q) Allianz AG vs. BASF AG Allianz AG vs. Münch. Re. AG

Gesamt DAX 30 Untersuchung p=q 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 .3609 .3009 .3149 .3387 .3479 .2685 .2409 .2400 .2571 .2749 .1528 .0891 .0829 .0840 .0754 α H0: ρL ≤ ρU vs. H1: ρL > ρU 0.10 55 61 94 136 148 0.05 35 32 67 89 107 0.01 11 4 30 42 50 170 173 196 218 217

H0: ρL ≥ ρU vs. H1: ρL < ρU α\p 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 9 7 3 0.05 2 0.01 1 61 58 35 13 14

Zeitliche Betrachtung Bullen- vs. Bärenumfeld

Literaturhinweise Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics & Data Analysis. Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer. Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls“, Cambrige University Press. Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail events“, Insurance: Mathematics and Economics. McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk Management“, Princeton University Press.

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Monte Carlo – Power Simulationsstudie Gauss Clayton

Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich