Methoden der Psychologie Evaluation & Forschungsmethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung

Methoden der Psychologie Verteilungsanpassung/Prüfung Effiziente Tests : Die NV- Annahme ist mit effektiven Methoden und trennscharfen Test zu prüfen, um ihre Gültigkeit sicherzustellen Prüfung der Verteilungs- annahme Korrekturen und Datentransformationen : Ist die NV- Annahme auf den originalen Skalen verletzt, können Skalentransformationen für die einzelnen Variablen des Variablen- verbundes gefunden werden, mit denen die multivariate Normalver- auf den transformierten Skalen gilt. Prüfung der NV-Annahme Klassifikation Ausreißeranalyse : Vor der Schätzung der Parameter (, ) für die multivariate NV- wird eine Analyse der Rohdaten auf Ausreißer vorgenommen.

Methoden der Psychologie Die allgemeine Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist: Univariate Tests (1D) Klassifikation Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewendet. Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben. Das einfache hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilung. Für den Test der Anpassung an die Normalverteilung werden die erwarteten Häufigkeiten aus den Wahrscheinlichkeiten der Quantil- Intervalle der Normalverteilung berechnet. - Test auf Güte der Passung

Methoden der Psychologie Univariate Tests (1D) Klassifikation - Test auf Güte der Passung Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen. Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N. Test mit progressivem alpha-Niveau, da man an der Absicherung für die Beibehaltung der H 0 interessiert ist ( = mind. 10%). Univariate Normalverteilung

Methoden der Psychologie Univariate Tests (1D) Klassifikation - Test auf Güte der Passung Univariate Normalverteilung Beobachtet: o i h(x)h(x) x erwartet als Normalverteilung: e i h(x)h(x) x Vergleich: h(x)h(x) x

Methoden der Psychologie Tests sind nicht sehr trennscharf und brauchen ein hohes N Sie hängen von der Anzahl der Intervalle (Freiheitsgrade) ab Sie können nur für die univariaten Verteilungen der einzelnen Meßvariablen durchgeführt werden (- Ausreisser durch spezielle Wertekombinationen in der multivariaten Verteilung können nicht aufgedeckt werden) Tests der NV- Annahme Effektive Methoden : Methoden, die die Quantile der erwarteten und tatsächlichen Distanzen vom Zentroid verwenden, können univariat und multivariat verwendet werden Effiziente Tests: Die Testung der Gleichheit von erwarteten und tatsächlichen Quantilen beruht auf einer trennscharfen Testung des Korrelationskoeffizienten (uni-und multivariat). Alternative: Q-Q Plot Methoden und Korrelations- Tests Prüfung der NV-Annahme Klassifikation - Tests Nachteile von

Methoden der Psychologie Ausreißer sind heikel zu bestimmen, bei kleinen Stichproben N < 30 gibt es keine zuverlässigen Methoden Bei N > 30 legt man die Quantile der Normalverteilung zugrunde und eliminiert die Werte, die jenseits der äußeren Quantile liegen. Dies sollten nicht mehr als 7%-8% sein. Identifikation von Ausreißern Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Data Clearing X Z P Qe

Methoden der Psychologie Nach Ausreißerbereinigung werden den Meßwerten empirische Quantile q o (in z) zugeordnet über die sortierte Reihe der Meßwerte. Mit aus den Daten geschätzten Parametern ( ) werden für die Prozentränge erwartete Quantile q e (in z) bestimmt. Man trägt q o (y-Achse) und q e (x-Achse) gegeneinander ab. Perfekte Passung liegt vor, wenn die Daten auf der Winkelhalbierenden liegen. Man bestimmt Anteil der aufgeklärten Varianz und Korrelation. Test über Quantilskorrelation Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Für den Korrelationskoeffizienten existieren kritische Werte, die bei Unterschreitung zur Ablehnung der NV-Annahme führen (s. Tabelle).

Methoden der Psychologie Kritische Q-Q- Korrelationen Korrelations- Test Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Ist r qq < r crit( ), wird die Annahme der NV auf dem gewählten Level verworfen. sollte progressiv gewählt sein (10%), da man eine Sicherheit für die Beibehaltung wünscht.

Methoden der Psychologie Datenbeispiel Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Korrelations- Test NV Test knapp im Annahmebereich, aber 2 Ausreißer verschlechtern die Passung beträchtlich N = 30 mit 2 Ausreißern

Methoden der Psychologie Datenbeispiel Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Korrelations- Test NV Test und Varianzaufklärung zeigt perfekte der empirischen Quantile an die NV an. N = 28 ohne Ausreißer

Methoden der Psychologie Datenbeispiel Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Korrelations- Test NV Annahme ist heikel und sollte abgelehnt werden Ausreißerentfernung würde Passung verbessern, aber die Art der Abweichung deutet auf eine systematische Transformation der Quantile N = 29 Nichtlineare Abweichung

Methoden der Psychologie Unsystematische Ausreißer sollten entfernt werden. Bei systematischen Quantilsabweichungen können die Rohdaten einer Potenztransformation unterzogen werden, um eine gute Approximation an die NV zu erreichen. Parameterschätzung für (, ) der NV sind über die transformierten Daten auszuführen. Quantils-Transformation zur NV Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Box-Cox- Power- Transformation Die Power-Transformation g(x) liefert mit dem Wert k aus der Maximierung von l(k) die beste Annäherung an die NV maximiert nach k

Methoden der Psychologie Datenbeispiel nichtlineare Abweichung Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Optimale Potenz- Transformation N = 29 Maximierungsfunktion l(k) Q-Q - Plot Potenztransformation der Originalskala: k0k0 Erneuter Q-Q Test

Methoden der Psychologie Datenbeispiel nichtlineare Abweichung Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Q-Q Plot Methode Optimale Potenz- Transformation 2 =.877 r =.937 Q-Q – Plot original berechnen Q-Q – Plot nach Potenztransformation 2 =.986 r =.993 z- transformierenQ-Q plotten Potenztransformation bringt fast perfekte Passung der NV