Physikalische Messgrößen

Messen = Zählen von Einheiten s = 26,673945.. mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26,673... x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit (Produkt gem. DIN 1313)

Länge   9,1 cm 9,2 cm 8,9 cm 9,0 cm : cm

Länge   9,1 cm 9,2 cm 8,9 cm 9,0 cm Länge / cm   9,1 9,2 8,9 9,0 : cm

80m 60m 40m 20m 0m 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s Zeit

Angabe der „Fehlergrenzen“ (Messabweichung, …) s = 26,673945 mm Messwert = Schätzwert 26 mm < s < 27 mm s = 26,5 mm ± 0,5 mm Angabe der „Fehlergrenzen“ (Messabweichung, …)

Genauigkeit hängt vom Messgerät ab: hier ist s = 26,673945 mm Genauigkeit hängt vom Messgerät ab: hier ist s = 27,5 mm ± 2,5 mm

Schreibweisen für Messwerte (Beispiele) : s = 26,673945.. mm Schreibweisen für Messwerte (Beispiele) : s = x ± x x = phys. Größe (allgemein) s = 27,5 mm ± 2,5 mm (absoluter „Fehler“) s = (27,5 ± 2,5) mm (kompakter) s = 27,5 (1 ± 0,1) mm (relativer „Fehler“) s = 27,5 mm ± 10 % (gängig aber illegal) Die Angabe eines Messwertes ohne Fehlergrenzen ist verboten !

Numerische Angabe von Messwerten : t = 68,726973 s ± 0,5 s t = 89,3492558 s ± 0,132859 s

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes systematische Fehler bei jeder Wiederholungsmessung (bei identischem Aufbau und Messverfahren) gleich in Vorzeichen und Betrag zufällige Fehler statistischer Fehler, von Messung zu Messung unterschiedlich

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit aus Weg und Laufzeit Weg: Abstand s zwischen 2 Begrenzungspfosten: 50 m Zeit: Laufzeit t eines Knalls, t = 0,154 s Ergebnis: v = s / t = 50 m / 0,154 s = 324,7 m/s

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Ursachen für systematische Fehler Fehler des Messgerätes Nullpunktfehler Maßstabs- und Linearitätsfehler Fehler des Messverfahrens z.B. Rückwirkung des Messgerätes verborgene Parameter Temperatur, Druck, ... elektrische und magnetische Störfelder Verunreinigung von Substanzen

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Systematische Fehler im Beispiel: Weg: Abstand zwischen Begrenzungspfosten Zeit: falsch kalibrierte Uhr elektrische Signallaufzeit sonstige Fehlermöglichkeiten: Luftdruck, Lufttemperatur, Feuchtigkeit

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Umgang mit systematischen Fehlern systematische Fehler sind schwer zu erkennen, hier hilft nur: vermeiden anderes Messgerät anderes Messverfahren Kalibration des Messaufbaus abschätzen Eigenschaften der Messgeräte Analyse möglicher Einflüsse

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Ursachen für zufällige Fehler individuelle Fehler Interpolationsfehler Reaktionszeiten Parallaxenfehler statistische äußere Einflüsse elektronisches Rauschen Erschütterungen Probleme beim Messgerät (Reibung, toter Gang, Hysterese, ...) usw. usw.

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Zufällige Fehler im Beispiel: Weg: Erdbeben Zeit: Ungenauigkeit bei der Feststellung des Zeitpunktes Windböen

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Eigenschaften zufälliger Fehler bei Wiederholungsmessungen an Streuung der Messwerte zu erkennen i.A. nach Gauss-Funktion verteilt Abweichung symmetrisch nach beiden Seiten größere Abweichungen mit geringerer Wahrscheinlichkeit Fehlergrenzen aus Messwerten mit statistischen Methoden zu ermitteln

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Bestimmung des Gesamtfehlers systematische Fehler bestimmen zufällige Fehler bestimmen Gesamtfehler = Summe der Fehlerbeiträge

Fehlerfortpflanzung

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - Grundlagen In der Regel ist das gesuchte Ergebnis m einer Messung eine Funktion einer oder mehrerer (Mess-) Größen x1 , x2 , x3 , ... m = f (x1 , x2 , x3 , ...) Die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche der beteiligten Größen D x1 , D x2 , D x3 , ... seien bekannt. Dabei gilt generell die Annahme, dass die Fehler relativ klein sind :

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - allgemeiner Fall Im allgemeinen Fall kann man (bei kleinen Fehlern) den Fehler der Funktion m = f (x1 , x2 , ..) aus dem totalen Differential gewinnen. Man erhält damit für den maximalen Fehler

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - wahrscheinlicher Fehler Häufig sind die verschiedenen beteiligten Größen mit ihren Fehlern voneinander unabhängig, so dass sich verschiedene Fehlerbeiträge mit verschiedenen Vorzeichen gegenseitig teilweise kompensieren. In diesem Fall ersetzt man die Betragssumme durch eine geometrische Summe der Beiträge und erhält den „wahrscheinlichen Fehler“:

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Summe Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) eine einfache (gewichtete) Summe m = k1x1 + k2x2 + k3x3 + ... so erhält man den Größtfehler einfach als Betragssumme der einzelnen Beiträge: Dm = |k1Dx1| + |k2Dx2| + |k3Dx3| + ... und den wahrscheinlichen Fehler als entsprechende geometrische Summe

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) als Produkt darstellbar so erhält man (durch logarithmisches Differenzieren) für den relativen Fehler des Ergebnisses die gewichtete Summe der einzelnen Relativfehler :

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt Beispiel: Die Masse m, der Weg s und die Zeit t für einen gleichförmig bewegten Körper wurden gemessen und die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche Dm, Ds, Dt ermittelt. Für die kinetische Energie des Körpers gilt: Dann ist der relative Fehler des Ergebnisses:

Statistik

Berücksichtigung zufälliger Fehler Der „wahre“ Wert wird von zufälligen Fehlern überlagert Die Abweichungen sind in der Regel Gauss-verteilt  

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes   Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Eigenschaften zufälliger Fehler Das Maximum der Verteilung (die Stelle x = ) ist der „wahre Wert“ der Messgröße („Erwartungswert“)  ist die mittlere Abweichung der Messwerte vom „wahren Wert“ („Standardabweichung“) ca. 68% der Messwerte liegen im Bereich x =  ±  ca. 95% der Messwerte liegen im Bereich x =  ± 2  ca. 99,7% der Messwerte liegen im Bereich x =  ± 3  aber: eine absolute Fehlergrenze gibt es nicht !

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Eigenschaften zufälliger Fehler Statt der „Fehlergrenzen“ des einzelnen Messwertes gibt es Angaben der Form: „Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt der wahre Wert im Bereich  = x ±  “ usw. als „Fehlergrenze“ für einen einzelnen Wert wird i.A. also in Abhängigkeit von der gewünschten Wahrscheinlichkeit p (=Aussagesicherheit) der Bereich Dx = k(p)  angegeben Dabei ist für p = 68% : k = 1 95% : k = 2 usw.

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Der „wahre“ Wert m der Messgröße könnte nur exakt ermittelt werden, wenn unendlich viele Messungen gemacht würden. Im realen Fall verwendet man den arithmetischen Mittelwert m der N Einzelmessungen als optimalen Schätzwert für den wahren Wert m : Die einzelnen Messwerte xi müssen dabei unter identischen Bedingungen unabhängig voneinander gewonnen sein

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Bei einer endlichen Anzahl von Messungen kann natürlich auch die Standardabweichung s nur geschätzt werden. Als Schätzwert verwendet man die Streuung S („empirische Standardabweichung“):

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Der Mittelwert m und die Streuung S sind ebenfalls nur statistische Größen, sie unterliegen daher selbst einer Unsicherheit (Streuung). Ein Maß für die möglichen Abweichungen des Mittelwertes erhält man aus der Standardabweichung s der einzelnen Messwerte. Wäre diese Größe bekannt, so erhielte man für die Streuung der (ebenfalls gaussverteilten) Mittelwerte aus N Einzelmessungen den Wert:

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Ersetzt man nun die (nicht messbare) Standardabweichung durch den Schätzwert S, so erhält man für die Streuung des Mittelwertes aus N Einzelmessungen den Schätzwert: Als Fehlergrenze müsste dann in Abhängigkeit von der gewünschten Aussagesicherheit p das k-fache dieses Wertes angegeben werden.

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Berücksichtigt man noch die Unsicherheit von S, so erhält man für den „Vertrauensbereich“ („Fehlergrenze“) einer Messgröße x Der Wert des Vorfaktors t hängt von der Zahl der Messwerte N und dem gewünschten „Signifikanzniveau“ p (=Aussagesicherheit, z.B. 68% oder 95%) ab. Er wird aus einer „Student-t-Tabelle“ entnommen.

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statistische Datenanalyse Die Angabe eines Messergebnisses bei Vorliegen von zufälligen Fehlern hat damit immer die Form: mit einer Wahrscheinlichkeit von p%

Regressionsanalyse

Statistische Datenanalyse Beispiel für lineare Regression Zur Bestimmung des Wertes eines ohm‘schen Widerstandes wird die Spannung (exakt) variiert und der jeweilige Strom (mit Fehler) gemessen. Ergebnis:

Statistische Datenanalyse – lineare Regression An diese (von einem zufälligen Fehler überlagerten) Werte soll eine Gerade der Form angepasst werden. Dazu wird die Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von dieser allgemeinen Geraden gebildet. Diese Summe muss (nach Gauss) minimiert werden:

Statistische Datenanalyse – lineare Regression Das Minimum findet man durch die Bedingung Als Lösung dieses Gleichungssystems erhält man: mit den Abkürzungen und a = ([x²][y] – [x][xy] / D b = (N [xy] – [x][y] / D

Statistische Datenanalyse – lineare Regression Damit erhält man in unserem Beispiel die Ausgleichsgerade mit den Parametern: a = 5,63 mA und b = 0,861 mA/V

Statistische Datenanalyse – lineare Regression Um die Streuungen Sa und Sb dieser Parameter abzuschätzen, verwendet man den Zusammenhang Dazu muss natürlich zuerst die Summe der Fehlerquadrate berechnet werden:

Statistische Datenanalyse – lineare Regression Für die Streuung Sb der Steigung erhält man also z.B.: Um den Vertrauensbereich zu erhalten, muss bei wenigen (<30) Werten noch der Student-t-Faktor (für die gewünschte Aussagesicherheit p und N-2 Freiheitsgrade berücksichtigt werden:

Statistische Datenanalyse – lineare Regression In unserem Beispiel erhält man Sb = 0,052 Der Student-t-Faktor für p = 95% und N = 12 ist t (0,95;10) = 2,228 Damit ist die Steigung b = (0,86 ± 0,16) mA/V Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung erhält man für den Vertrauensbereich des gesuchten Widerstands R (= 1/b) : und daraus das Versuchsergebnis: R = (1160 ± 220)  für p = 95%

Statistische Datenanalyse – lineare Regression Voraussetzung für diese Form der linearen Regression ist streng genommen die Bedingung, dass nur Fehler in der Variablen y auftreten. Praktisch muss erfüllt sein: Sind die Verhältnisse umgekehrt, so wählt man eine Auftragung mit vertauschten Koordinaten.