Mathematisches Seminar Ronny Heinitz
Thema Voronoi-Mosaike Struktur und Ordnungsmodell
Gliederung Einführung Voronoi-Mosaike Vollständige und unvollständige Mosaike Voronoi-Mosaike Beispiel Anwendungsgebiete
Einführung Dirichlet und Voronoi betrachten reguläre Mosaike zur Untersuchung von zahlentheoretischen Problemen Für Modellierung realer Mosaike werden oft Poisson-Voronoi-Mosaike verwendet
Mosaik-Arten Vollständige Mosaike Unvollständige Mosaike Vollständige Voronoi-Mosaike Unvollständige Voronoi-Mosaike
Vollständige Mosaike Voraussetzung: 1) Zellen sind nichtleer, offen und paarweise disjunkt 2) Raum = Addition aller Zellen 3) Ist Raum beschränkt = Menge der Zellen ist endlich
Unvollständige Mosaike Voraussetzungen: 1) und 3) treffen zu. 2) trifft nicht zu (der Raum weißt noch zellfreie Zonen auf)
Vollständige Voronoi-Mosaike Voraussetzung: Punktprozess Punkte zi (i=1,2,…) eines Punktprozesses im Raum Rd definiert alle Punkte x aus Rd, die der Beziehung ||x-zi||<||x-zj|| für i<>j (i ungleich j) genügen, bilden die von zi erzeugte Zelle
2-dimensionale Darstellung eines Voronoi-Mosaikes
Beispiel – Wachstumsprozess 1 Am Anfang Punkte (Minizellen mit Zellkern) Die Zellen wachsen bis sie anfangen sich an einzelnen Stellen zu berühren Bemerkung: Solange es nur ein Berührungspunkt zwischen 2 Kugeln gibt könnte man von Kugelpackungen sprechen
Beispiel – Wachstumsprozess 2 Die Zellen wachsen weiter, bis auf die Zellränder, die bereits mit einer anderen Zelle Kontakt haben. All diese Wachstumsmomente sind unvollständige Voronoi-Mosaike
Beispiel – Wachstumsprozess 3 Wenn sämtliche freien Stelle in dem Raum Rd gefüllt sind, spricht man von vollständigen Voronoi-Mosaiken
Ordnung von Mosaiken 37 Glaskugeln 61 Glaskugeln
Anwendungsgebiete Astrophysik: Meteorologie: zu Studien der Massenteilung im Universum Meteorologie: ebene Voronoi-Mosaike für Mengen von Niederschlag
Weitere Anwendungsgebiete Geographie Geologie Kristallographie Metallographie Zellbiologie
Abschluss Die Bedeutung zufällige Mosaike steigt an Trotz seiner Einfachheit gibt es bis jetzt immer noch eine Reihe von Problemen, die noch nicht befriedigend analytisch gelöst worden sind.