Geostatistik Kriging 21.01.02 Sarah Böckmann

Gliederung Einleitung Theoretisches Semivariogramm Empirisches Semivariogramm Umsetzung in ArcGIS Aufgabe 1 Anwendung des Semivariogramms auf Kriging Kriging-Varianz Aufgabe 2 21.01.02 Sarah Böckmann

deterministische Interpolation Bisher: deterministische Interpolation ist relativ genau, falls die Messwerte: regelmäßig und in einer relativ hohen Dichte über das zu untersuchende Gebiet verteilt liegen 21.01.02 Sarah Böckmann

Geostatistische Interpolation Neu: Geostatistische Interpolation wird verwendet, falls die Messwerte unregelmäßig und in relativ niedriger Dichte vorliegen 21.01.02 Sarah Böckmann

Besonderheiten geostatistischer Verfahren: mit geostatistischen Interpolationstechniken kann man : Vorhersagen für bestimmte Orte machen UND diese Vorhersagen auf ihre Genauigkeit prüfen 21.01.02 Sarah Böckmann

Geschichte des Verfahrens: wurde nach dem südafrikanischen Bauingeneur D.G.Krige benannt Mitte des 20.Jahrhunderts von G.Matheron in Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiterentwickelt zur gleichen Zeit von L.S.Gandin in der Sowjetunion entwickelt, in dem Bereich Meterologie angewandt heute: Anwendung in allen Geowissenschaften 21.01.02 Sarah Böckmann

Eigenschaften des Verfahrens: im Mittel ist der Schätzfehler minimal (best) als gewichtetes Mittel ist er linear im Mittel wird richtig geschätzt (unbiased) B L U E 21.01.02 Sarah Böckmann

Das geostatistische Modell Z(x) = m(x) + ´(x) + ´´(x) Mittelwert Rauschen vom Ort abhängige Zufallsvariable 21.01.02 Sarah Böckmann

Voraussetzungen für Kriging: Intrinsche Hypothese Semivariogramm 21.01.02 Sarah Böckmann

Intrinische Hypothese 1. Der Erwartungswert von Z im Untersuchungsgebiet ist konstant E[Z(x) – Z(x+h)] = 0 2. Der räumliche Zusammenhang zwischen 2 Variablen hängt nicht von deren absoluter Lage ab, sondern nur von deren Abstandsvektoren: E[{Z(x) – Z(x+h)}²] = 2(h) Semivarianz 21.01.02 Sarah Böckmann

Definition Semivarianz (h) = 1/2n{z(xi) – z(xi+h)}² Abstandsvektor 2 Variablen mit Abstand h Anzahl der Punktpaare mit Abstand h ein Graph von (h) wird das „empirische Variogramm“ genannt 21.01.02 Sarah Böckmann

Das empirisches Variogramm Vorgehensweise: 1. Abstände zwischen jedem existierenden Punktpaar werden berechnet 2. Für jeden Abstand h wird ein Variogrammwert (h) bestimmt 3. In der Praxis bestimmt man Abstandsklassen, da nur wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand haben 21.01.02 Sarah Böckmann

Das empirisches Variogramm 21.01.02 Sarah Böckmann

Das theoretische Variogramm Bisher: Aussage über den räumlichen Zusammenhang der Stichprobe Neu: Variogrammwert auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe vorkommen 21.01.02 Sarah Böckmann

Das theoretische Variogramm Annahme: - empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf Lösung: - Verlauf wird einer Funktion angepasst 21.01.02 Sarah Böckmann

- Exponentielles Modell - Gaussches Modell 3 Modelle - Sphärisches Modell - Exponentielles Modell - Gaussches Modell 21.01.02 Sarah Böckmann

Das theoretische Variogramm 21.01.02 Sarah Böckmann

Vom empirischen zum theoretischen Variogramm 21.01.02 Sarah Böckmann

Kenngrößen des Variogramms Schwellenwert: Maximum von (h) Aussageweite: Abstand bei dem das Variogramm einen Schwellenwert erreicht Nugget: Schnittpunkt mit der y-Achse, existiert, wenn das Variogramm nicht durch den Ursprung verläuft (Rauschen) 21.01.02 Sarah Böckmann

Umsetzung in ArcGIS Semivariogramm Klick auf „Semivariogramm“ 21.01.02 Sarah Böckmann

wähle Layer und Attribut aus 21.01.02 Sarah Böckmann

durch Anklicken eines Punktes im Semivariogramm wird das entsprechende Punktpaar in der Karte angezeigt 21.01.02 Sarah Böckmann

Aufgabe 1 Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\proseminar2001\böckmann_otte die Datei „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“ Erstellt ein Semivariogramm Findet die Punkte im Semivariogramm dessen Punktpaare in der Karte -1. den größten und -2. den kleinsten Abstand voneinander haben 21.01.02 Sarah Böckmann

Kriging-Schätzer z*(x0) =  i z(xi) Aufgabe: Ein unbekannter Wert wird durch ein gewichtetes Mittel der bekannten Nachbarwerte geschätzt. z*(x0) =  i z(xi) gesuchter Wert gemessener Wert Gewichte 21.01.02 Sarah Böckmann

Die Gewichte Werden so bestimmt, dass: 1. der Schätzfehler im Mittel 0 ist E[F(x0)] = 0 2. die Varianz des Schätzfehlers minimal ist Var [F(x0)] = min 3. die Summe der Gewichte = 1  i = 1 21.01.02 Sarah Böckmann

Berechnung der Gewichte Berechnung erfolgt aus den BLUE-Anforderungen: Linearität => gewogenes Mittel => z*(x0) = iz(xi) Erwartungstreue =>Schätzfehler Null => z*(x0) – z(x0) = 0 Beste Schätzung => minimale Varianz des Schätzfehlers => VAR [z*(x0) – z(x0)] = min Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung 21.01.02 Sarah Böckmann

Lösung in Matrizenform : : : : : n1 . . .nn 1 * n = n0 1 . . . 1 0 m m Semivariogramm-werte zwischen allen Paaren gemessener Orten Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort 21.01.02 Sarah Böckmann

Nun ist es möglich die Gewichte zu bestimmen und damit den Wert für einen nicht-gemessenen Ort vorherzusagen!  = -1 *  z*(x0) =  i z(xi) 21.01.02 Sarah Böckmann

Die Kriging-Varianz Der Vorteil statistischer Interpolation: Genauigkeit der Vorhersage feststellen Die Kriging-Varianz berechnet sich nach ² =  i(xi, xk) +  21.01.02 Sarah Böckmann

Umsetzung in ArcGIS Kreieren einer Oberfläche Klick auf Geostatistical Analyst, wähle den Geostatistical Wizard 21.01.02 Sarah Böckmann

Wähle aus den Daten die „ca_ozone_pts“ Klick auf „Kriging“ Klick auf „Next“ 21.01.02 Sarah Böckmann

Wähle unter „Ordinary Kriging“ die „Prediction Map“ Klick auf „Next“ 21.01.02 Sarah Böckmann

Klick auf „Next“ Aussageweite Schwellenwert Nugget 21.01.02 Sarah Böckmann

vorherzusa-gender Ort „Nachbarn“ und deren Gewichte Anzahl der Nachbarn in einem Sektor vorherzusa-gender Ort Klick auf „Next“ 21.01.02 Sarah Böckmann

Klick auf „Finish“ 21.01.02 Sarah Böckmann

zur Überprüfung der Eingaben Klick auf „OK“ 21.01.02 Sarah Böckmann

Die Vorhersage 21.01.02 Sarah Böckmann

Klick auf „Create Prediction Standard Error Map“ Genauigkeit der Vorhersage kann anhand einer Genauigkeits-Karte überprüft werden Klick auf „Create Prediction Standard Error Map“ 21.01.02 Sarah Böckmann

Vorhersage und ihre Genauigkeit 21.01.02 Sarah Böckmann

Aufgabe 2 Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\proseminar2001\böckmann_otte die Dateien „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“ erstellt eine Karte mit Kriging und die dazugehörige Genauigkeitskarte 21.01.02 Sarah Böckmann