Welche Funktion beschreibt die Messwerte?

Präsentation zum Thema: "Welche Funktion beschreibt die Messwerte?"—  Präsentation transkript:

1 Welche Funktion beschreibt die Messwerte?
Elektrische Leistung eines Windrads als Funktion der Windgeschwindigkeit Welche Funktion beschreibt die Messwerte?

2 Elektrische Leistung des Windrads Rosskopf 1 bei Freiburg
Wind-geschwindigkeit m/s Drehzahl 1/Min Momentan-Leistung kW 3,3 11,2 45 4,3 12,3 105 12,1 100 5,3 13,4 175 Welche Potenz der Windgeschwindigkeit beschreibt die Leistung als Funktion der Windgeschwindigkeit am besten?

3 Messwerte kW m/s

4 Lösungsweg Zur Lösung testet man die in Frage kommenden Potenzen y = m·xp +a auf Übereinstimmung mit den Messwerten (der Leistung). x steht für die Windgeschwindigkeit. Die Konstante a ist 0, weil die Kurven durch den Ursprung verlaufen und im Ursprung ein lokales Minimum zeigen Den Koeffizienten m bestimmt man für jeden Ansatz mit linearer Regression (Excel Funktion RGP) zwischen yc = m·xp und den Messwerten yo, xp = xp Ansatz: p = 1,2,3,4 Der Ansatz mit bester Übereinstimmung zeigt die kleinste Summe der Abweichungsquadrate M = Σ(yc-yo)2

5 Vorbereitung zur linearen Regression
Wind m/s Leistung kW x^2=Wind^2 x^3=Wind^3 x^4=Wind^4 0,001 0,000001 0, 1E-12 3,3 45 10,89 35,937 118,5921 4,3 105 18,49 79,507 341,8801 100 5,3 175 28,09 148,877 789,0481 Berechnung der Potenzen der Windgeschwindigkeit für p=1,2,3,4

6 Lineare Regression für lineares Modell
y = m · x + a m = 25, 3, #NV 0, 28, 17, 4 14319,8827 3229,9473

7 Lineare Regression für Modell y = m · x3
y = m · x3 + a m = 1, a=0 σm = 0, σa #NV r2 = 0, 5, 589,962 4 17431,6418 118,

8 Test auf Übereinstimmung
Windgeschw. [m/s] Messwerte [kW] Linear [kW] Abwei-chungs-Quadrat (yo-yc)^2 3. Potenz [kW] Abwei-chungs-Quadrat (yo-yc)^2 x yo yc=25,7*x yc=1,2*x3 0,001 0,025 0,0006 1,2E-09 9,9E-07 3,3 45 85,0 1603,31 43,7 1,5 4,3 105 110,8 33,774 96,842 66,5 100 116,89 96,8 9,96 5,3 175 136,5 1475,9 181,3 40,1 3229,96 118,1 Das Maß für die Übereinstimmung ist die Summe der Abweichungsquadrate („Chi-Quadrat“)

9 Funktionen der Form y = m*·xp

10 Summe der Abweichungsquadrate für alle Modelle
yc=m·x  yc= m·x2 yc= m·x3 yc = m·x4 Summe der Abweichungsquadrate 3229 532 118 1304

11 Anleitung zum Eintrag einer Matrixformel (z. B. {RGP(
Anleitung zum Eintrag einer Matrixformel (z. B. {RGP(..)}) in einer Excel Anwendung: 1. Von der Ecke für die Formel (links oben) ausgehend die von der Formel-Matrix benötigten Zellen vorher markieren 2. Dann bleibt großer Rahmen, helles Feld für Formel. Mit klick auf fx Formel eintragen 3. Ein Wert erscheint in hellen Feld, Rest bleibt umrahmt. 4. F2 drücken, dann strg Umschalt Enter - die restlichen Matrix Felder füllen sich

12 finis

13 Zusammenfassung Die elektrische Leistung einer Windmühle steigt mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit Lösungsweg: „Versuch und Irrtum“, (Trial and Error) Annahme: y = m·xp für Potenzen p =1,2,3,4 Bestimmung von m mit linearer Regression Rechenblatt: Uebung_4_ xls Der Ansatz mit bester Übereinstimmung zeigt die kleinste Summe der Abweichungsquadrate M = Σ(yc-yo)2