Erwartungstreuer, konsistenter Schätzer Universität Potsdam Sommersemester 2011 Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Seminarleiterin: Frau S. Roelly Referentin: Sophie Newiger Datum: 26. Mai 2011

Gliederung 1 Einstieg in die Thematik (Motivation) 2 Reißzweckenwurf (Binomialverteilung) 2.1 Definition: Schätzfunktion und Schätzer (Wiederholung) 2.2 Beispiele für Schätzer 2.3 Definition: Erwartungstreue und Konsistenz 2.4 Qualität der Schätzer überprüfen 3 Sammelbilderproblem (Diskrete Gleichverteilung) 3.1 Beispiele für Schätzer 3.2 Qualität der Schätzer überprüfen 4 Verkehrszählung (Poissonverteilung) 4.1 Beispiel eines Schätzers 4.2 Qualität des Schätzers überprüfen 5 Zusammenfassung 6 Quellen

1 Einstieg in die Thematik (Motivation) schließende bzw. beurteilende Statistik Beispiele: Bestandskontrollen ,Qualitätskontrollen, Prognose des Wahlverhaltens einer Bevölkerung, … unvollständige Kenntnis über die zu untersuchenden Daten Notwendigkeit des Schätzens! parametrische Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter p machen p bestimmt Verteilung der Stichprobe von Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen

1 Einstieg in die Thematik (Motivation) Wahl eines guten Schätzers hängt von Qualitätsmerkmalen ab z.B. Erwartungstreue und Konsistenz Betrachtung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

2 Reißzweckenwurf Notation n-facher Reißzweckenwurf Wahrscheinlichkeitsmaß, welches vom Parameter p abhängt, unabhängig voneinander und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen n Anzahl der Würfe k Anzahl der Treffer („Reißzwecke fällt auf den Kopf“) Zufallsvariable ist bernoulliverteilt zum Parameter p „Reißzwecke fällt auf den Kopf“ „Reißzwecke fällt schräg auf die Spitze“

2 Reißzweckenwurf Definition 1: Schätzfunktion Eine Schätzfunktion für den Parameter p ist eine Funktion d.h. Definition 2: Schätzer Die Zufallsvariable heißt Schätzer für den Parameter p.

2 Reißzweckenwurf Beispiele für Schätzer

2 Reißzweckenwurf Definition 3: Erwartungstreue Ein Schätzer für den Parameter p heißt erwartungstreu, wenn für alle . Definition 4: Konsistenz Ein Schätzer heißt konsistent, wenn für alle gilt: , , d.h. für alle Erwartungstreue: -Hierbei bezeichnet Ep den gemäß der Verteilung Pp berechneten Erwartungswert -Der Erwartungswert des Schätzers ist gleich dem zu schätzenden Parameter (Anmerkungen: P(Hut) steht hier für eine Zufallsvariable, deren Realisierungen y1,y2,… sich durch die Schätzungen für p aus wiederholt gezogenen Stichproben ergeben Konsistenz -Für immer größere Stichproben nähert sich der Schätzer P(Hut) dem zu schätzenden Parameter genauer an (Die Qualität des Schätzers wird umso besser, je größer die Stichprobe ist) -Ein Schätzer ist konsistent, wenn er für immer größere Stichproben immer genauer wird. Mit anderen Worten kann man die Schätzung beliebig genau machen, indem man die Stichprobengröße weit genug öffnet.

2 Reißzweckenwurf Qualität der Schätzer überprüfen nicht erwartungstreu nicht konsistent erwartungstreu konsistent

3 Sammelbilderproblem Notation Wie viel verschiedene Bilder gehören zu einer Serie? Notation M Anzahl der verschiedenen Bilder einer Serie: {1,…,M} n Anzahl der gekauften Duplo: {1,...,n} unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist gleichverteilt zum Parameter M Hier werden Definitionen Schätzer, Schätzfunktion, Erwartungstreue und Konsistenz genutzt; diese beziehen sich aber hier auf einen anderen Parameter: Parameter M {1,…M}

3 Sammelbilderproblem Beispiele für Schätzer {nächste ganze Zahl zu }

3 Sammelbilderproblem Qualität der Schätzer überprüfen nicht erwartungstreu konsistent nicht konsistent {nächste ganze Zahl zu } ungefähr erwartungstreu

4 Zählung von Autounfällen (poissonverteilung) In dieser Zählung werden Autounfälle in einem bestimmten Zeitintervall (pro Tag) erfasst. Notation n Anzahl der Tage: {1,…n} entspricht der mittleren Unfallanzahl pro Tag Anzahl der Autounfälle am i-ten Tag (unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariable) Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist poissonverteilt zum Parameter Große Stichprobe Kleine Auftretenswahrscheinlichkeit des Ereignisses (Unfall)

4 Verkehrszählung (poissonverteilung) Beispiel eines Schätzers erwartungstreu konsistent

5 Zusammenfassung Ziel der Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter treffen dazu erforderlich: Schätzer Gute Qualität der Schätzer!? Gütekriterien nutzen, wie z.B. Erwartungstreue: für alle Konsistenz: für alle

6 Quellen Knöpfel, H. & Löwe, M. (2007). Stochastik – Struktur im Zufall. München: Oldenburg-Verlag Georgii, H.-O. (2009). Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. De Gruyter- Verlag. Bourier, G. (2011). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung mit Aufgaben und Lösungen. Wiesbaden: Gabler-Verlag. Kunze, S. (2010). Das Sammelbilderproblem. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Online abrufbar unter http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2011/5164/pdf/Preprint_2 010_12.pdf