Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: Beispiele: Punkte beim Werfen zweier Würfel Zeit beim Warten auf den Bus Ja= 1 nein = 0 Formal Abbildung: Im Beispiel: 2x Würfel!!!! Zuordnung: 2-maliges Würfeln -> Augensumme
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie ist definiert als . Die Augensumme 1 mit der Wahrscheinlichkeit … Im Beispiel: Die Augensumme 2 mit der Wahrscheinlichkeit … Die Augensumme 3 mit der Wahrscheinlichkeit … Die Augensumme 4 mit der Wahrscheinlichkeit …
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine Zufallsgröße definiert als Die Augensumme bis maximal 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit … Im Beispiel: Die Augensumme bis maximal 2 wird mit der Wahrscheinlichkeit … usw.
Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten . Dann sind der Erwartungswert und die Varianz wie folgt definiert: Mittelwertbestimmung „Quadratischer Abstand“ „mittlere Abweichung“
Beispiel: Einfacher Würfel Welche durchschnittliche Punktzahl wird geworfen/erreicht? Wie groß ist dazu die durchschnittliche quadr. Abweichung? Wie groß ist der mittlere Abweichung?
Erwartungswert von Zufallsgrößen Merke:
Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Weiter Regeln im TW Seite 26 (Schroedel)
Prüfungsaufgabe:
Lösung der Prüfungsaufgabe: