Scaffold 29S: Komplexe Zahlen Niall Palfreyman Biotechnology & Bioinformatics Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science

Phase 1: Präsentation

Ein Photon ist weder Teilchen noch Welle, sondern ein Quantum. Quanten Ein Photon ist weder Teilchen noch Welle, sondern ein Quantum. Der Zustand eines Quantums ist ein Pfeil ψ, der sich über Zeit dreht (rechts). Der Winkel des Zustands ist die Phase, und beschreibt die Welleneigenschaften des Quantums. Der quadrierte Betrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass wir bestimmte Teilchen-Eigenschaften messen werden.

Wie kann eine Phase senkrecht zu allen drei Achsenrichtungen zeigen?! Was ist Phase? Im Diagramm ist nur die eine Dimension x, doch ψ beschreibt die Position des Quantums in drei Dimensionen x, y, z. Wie kann eine Phase senkrecht zu allen drei Achsenrichtungen zeigen?! Kann es nicht. Also die Phase rotiert nicht im physikalischen Raum sondern in einem komplexen Raum!

Finde zwei Zahlen a und b, deren Summe 10 und Produkt 40 ist: 1545: Cardanos Problem Finde zwei Zahlen a und b, deren Summe 10 und Produkt 40 ist: Eine Lösung wäre . Doch existieren wirklich solche Zahlen?

Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex. Komplexe Zahlen Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex. Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobei und . i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. Tipp Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich –1 ist.

Komplexe Berechnungen Sei ; was ist der Wert von ? Lösung: Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen! Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch –1.

Berechne diese komplexen Zahlen: Lösung: Beispiele Berechnen Berechne diese komplexen Zahlen: Lösung:

Reeller und imaginärer Teil Sei eine komplexe Zahl. ist der reelle Teil von z. ist der imaginäre Teil von z. Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

Falls Im(z1)=0, ist z rein reell. Falls Re(z1)=0, ist z rein imaginär. Gleichheit Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2). Falls Im(z1)=0, ist z rein reell. Falls Re(z1)=0, ist z rein imaginär.

Komplex Konjugierte Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe Konjugation. Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

Beispiel komplex Konjugierte Was ist die komplex Konjugierte? Merke:

Betrag einer komplexen Zahl Der Betrag einer komplexen Zahl ist . Also: Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: Komplexe Ebene Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: Addition ist ähnlich zur Vektoraddition: Konjugation ist eine Reflektion durch die reelle Achse

Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. Betrag und Argument Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. ist der Betrag von z, und ist das Argument von z. Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: cis Notation Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: x = r cos(θ) y = r sin(θ) Also:

Eulers große Einsicht war, dass Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel θ. Eulers große Einsicht war, dass dreht Zahlen um den Winkel θ!

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:

Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? Multiplikation Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? Beträge werden multipliziert; Argumente werden addiert!

Was ist der Quotient der Zahlen und ? Division Was ist der Quotient der Zahlen und ? Beträge werden dividiert; Argumente werden subtrahiert!

Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück: Die Wurzeln aus 1 Was ist die 3. Wurzel aus 1? Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück:

Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ. Inverse Was ist 1/z ? Sei , dann gilt: Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ.

Betrag ist ; Argument ist y. Exponentialfunktion Berechne : Betrag ist ; Argument ist y.

Komplexe Berechnungen Berechne :

Komplexe Berechnungen Berechne in Exponentialform:

2π ist eine Umdrehung, also Eulers Gedicht Berechne : 2π ist eine Umdrehung, also π ist halbe Umdrehung, also Also:

Phase 2: Abruf

Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex. Komplexe Zahlen Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex. Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobei und . i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. Tipp Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist. Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich ___ ist.

Komplexe Berechnungen Sei ; was ist der Wert von ? Lösung: Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen! Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch ___.

Berechne diese komplexen Zahlen: Lösung: Beispiele Berechnen Berechne diese komplexen Zahlen: Lösung:

Reeller und imaginärer Teil Sei eine komplexe Zahl. ist der ____ Teil von z. ist der imaginäre Teil von z. Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

Falls Im(z1)=0, ist z rein _____. Falls Re(z1)=0, ist z rein ______. Gleichheit Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2). Falls Im(z1)=0, ist z rein _____. Falls Re(z1)=0, ist z rein ______.

Komplex Konjugierte Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe _________. Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

Beispiel komplex Konjugierte Was ist die komplex Konjugierte? Merke:

Betrag einer komplexen Zahl Der Betrag einer komplexen Zahl ist . Also: Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: Komplexe Ebene Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene: Addition ist ähnlich der Vektoraddition: Konjugation ist eine Reflektion durch die _____ Achse

Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. Betrag und Argument Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen. ist der _______ von z, und ist das _________ von z. Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: cis Notation Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren: x = r cos(θ) y = r sin(θ) Also:

Eulers große Einsicht war, dass Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel ___. Eulers große Einsicht war, dass __ dreht Zahlen um den Winkel θ!

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:

Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? Multiplikation Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ? Beträge werden multipliziert; Argumente werden addiert!

Was ist der Quotient der Zahlen und ? Division Was ist der Quotient der Zahlen und ? Beträge werden dividiert; Argumente werden subtrahiert!

Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück: Die Wurzeln aus 1 Was ist die 3. Wurzel aus 1? Jede Zahl z, für die gilt: Davon gibt‘s drei Stück:

Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ. Inverse Was ist 1/z ? Sei , dann gilt: Betrag ist 1/r; Drehung ist –θ.

Betrag ist ____; Argument ist ____. Exponentialfunktion Berechne : Betrag ist ____; Argument ist ____.

Komplexe Berechnungen Berechne :

Komplexe Berechnungen Berechne in Exponentialform:

2π ist eine Umdrehung, also Eulers Gedicht Berechne : 2π ist eine Umdrehung, also π ist halbe Umdrehung, also Also: ____________

Phase 3: Übung

Berechne diese komplexen Zahlen: Berechnen Berechne diese komplexen Zahlen:

Reeller und Imaginärer Teil Berechne folgende Ausdrücke:

Vereinfache den folgenden Bruch: Division Vereinfache den folgenden Bruch:

Quadratische Gleichungen Find alle Lösungen dieser quadratischen Gleichung:

Berechnung des Betrags Sei z = x + iy. Schreibe folgenden Ausdruck in der Form a + ib :

Berechnung des Betrags Sei z = x + iy. Beweise, dass:

Multiplizieren Sei und . Berechne und schreibe die Zahlen z1, z2 und z1z2 in der Polarform . Was fällt Dir an den Argumenten und Beträgen auf?

Rotationen Sei . Beweise, dass die Multiplikation mit dem Faktor einer Drehung um einen Winkel θ gleicht.

Komplex Konjugierte Sei . Zeige, dass: und

Komplex Konjugierte Seien z1, z2 zwei komplexe Zahlen in x+iy Form. Beweise folgende Ergebnisse:

Komplexe Zahlen und Trigonometrie Berechne den Ausdruck als trigonometrische Formel. Überrascht? Wir werden bald mehr zu dieser Formel zu sagen haben.

Gratuliere – super gemacht!