Longitudinale Wellen: x y z V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien Longitudinale Wellen: x Transversale Wellen: x

V.4.4 Lösung der 1-dim. Wellengleichung  Lösung der Wellengleichung für beliebige zweimal differenzierbare Funktion f Speziell kann z.B.: gewählt werden. “Harmonische Wellen” aus Dimensionsgründen, [k] = 1/Länge Das Argument bezeichnet man als Phase.

? Phasengeschwindigkeit Dazu betrachte: nach links laufende Welle Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Zustand konstanter Phase Dazu betrachte: nach links laufende Welle nach rechts laufende Welle

k bezeichnet man als Wellenzahl Wellenlänge und Wellenzahl der harmonischen Welle u(t=t0,x) Momentaufnahme bei fester Zeit t0 x l Wellenlänge l: kürzester Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen (Oszillatoren in Phase) bzw. k bezeichnet man als Wellenzahl

Kreisfrequenz der harmonischen Welle u(t,x=x0) Harmonische Schwingung am festen Ort x0 t T Am festen Ort schwingt Oszillator gemäß: bzw.

Superpositionsprinzip Hat man zwei Lösungen u1 und u2 von , so ist auch u = u1 + u2 wieder eine Lösung. (Folgt aus Linearität der Wellengleichung) Wichtige Anwendung: Fourierzerlegung Stehende Wellen … (mehr dazu später)

Ausbreitung einer Wellengruppe (Informationstransport) Betrachte: Überlagerung zweier harmonischen Wellen (l1 ≈ l2) “Schwebung”

Ausbreitung einer Wellengruppe Zeitpunkte t1 x Zeitpunkte t2 x Zeitpunkte t3 x

Gruppengeschwindigkeit Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Wellengruppe fort? Überlagert man unendlich viele harmonische Wellen findet man: ( falls ) (hier ohne Beweis) Die Gruppengeschwindigkeit ist für die Informationsübertragung wichtig

Gruppengeschwindigkeit Verwendet man kann man auch schreiben: Bisherige Beispiele:  c ist unabhängig von der Wellenlänge, die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Phasengeschwindigkeit, endlich ausgedehnte Wellenpakete zerfließen nicht

Gruppengeschwindigkeit Für Wasserwellen in tiefem Wasser gilt näherungsweise: c ist von der Wellenlänge abhängig ! Wellenpakete zerfließen / Dispersion

zu lösen, mache folgenden Ansatz: Alternative Methode zur Lösung der Wellengleichung Produktansatz Um zu lösen, mache folgenden Ansatz: Einsetzen liefert: !

Produktansatz:

Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen: Für beliebige k ist Allgemeine Lösung, durch Überlagerung von Lösungen zu unterschiedlichem k: Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:

V.4.5 Wellen in endlich ausgedehnten Systemen, Randbedingungen am Beispiel der schwingenden Saite Beispiel: Fest eingespannte Saite L Beispiel: Loses Ende Ring gleitet reibungsfrei auf Stab Keine Kraft längs des Stabes  Ring horizontal

Zusätzlich zu den Anfangsbedingungen treten Randbedingungen hinzu! “Dirichletsche Randbedingungen”: Die Wellenfunktion ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: festes Ende “von Neumannsche Randbedingungen” Die Normalableitung ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: loses Ende Die gesuchte Lösung der Wellengleichung muß also: Wellengleichung erfüllen Anfangsbedingungen erfüllen Randbedingungen für alle Zeiten erfüllen

Grundschwingung n=1 1.Oberschwingung (n=2) 2.Oberschwingung (n=3)  n-1 Knoten

Stehende Welle als Überlagerung: Verwende: Damit: nach rechts laufende Welle nach links laufende Welle Wellenberg wird als Wellental reflektiert (“Phasensprung p”)

Reflexion am festen Ende (allgemein) Es entsteht eine am Ursprung gespiegelte Welle die nach rechts läuft Für die Gesamtlösung gilt dann: Randbedingung:  R=-1, insbesondere |R| = 1 “Totalreflexion”

Reflexion am losen Ende Gleicher Ansatz wie zuvor: Randbedingung: liefert R=1 (Tafelrechnung) Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert

Lösung der schwingenden Saite für konkrete Anfangsbedingungen Bsp.: gezupfte Saite h a L Auslenkung zu t=0: Anfangsgeschwindigkeit zu t=0:

Zeitentwicklung  Matlab Illustration Überlagerung der Eigenschwingungen n=1..1 n=1..3 n=1..5 n=1..9 n=1..99 Zeitentwicklung  Matlab Illustration

Numerische Lösung der schwingenden Saite Diskretisieren von Mit: ergibt sich: mit ( Tafelrechnung)

Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators: V.4.6 Wellengleichung in mehr als einer Raumdimension Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators: Wellengleichung:

Beispiel: Transversalschwingung einer Membran Quadratische Membran am Rand eingespannt ergibt wieder diskretes Spektrum von Eigenschwingungen / Eigenfrequenzen  können durch Chladnysche Klangfiguren sichtbar gemacht werden

V.4.7 Typische Wellenphänomene am Beispiel von Wasserwellen --- Huygenssches Prinzip Allgemeine Theorie der Wasserwellen kompliziert:  nichtstationäre Bewegung von Flüssigkeiten Beschreibung durch Euler-Gleichung falls Flüssigkeit als inkompressibel ohne innere Reibung “ideale Flüssigkeit” angenommen wird Äußere Kraftdichte: Gravitation  “Schwerewellen” Außerdem: Randbedingungen am Rand der Flüssigkeit  Wellengleichung nimmt komplizierte Form an

Näherungsweise findet man: (h Wassertiefe) “Tiefes Wasser” “seichtes Wasser” Kapillarwellen: Rechnung: siehe z.B. Lehrbuch der Theor. Physik, Walter Weizel

Wasserwellen können näherungsweise als 2-dimensional angenommen werden. Für harmonische Punktstörungen findet man dann als Näherungslösung der Wellengleichung für große r. “Huygenssche Elementarwelle”

Huygenssches Prinzip: “Jeder Punkt einer Wellenfront wirkt als punktförmige Störung, die Elementarwellen auslöst. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die zeitliche Entwicklung der ursprünglichen Wellenfront”

Einfache Anwendung des Huygensschen Prinzips Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen

Reflexion mit Huygensschem Prinzip a A B b

Einfallswinkel  Ausfallswinkel Reflexion an ebener Wand ebene Welle Ein Aus α α ebene Wand Einfallswinkel  Ausfallswinkel

Brechung mit Huygensschem Prinzip a A B

α β Medium 1: c1 Medium 2: c2 Brechung an Grenzflächen Brechungsgesetz Kürzester Weg zwischen P1 und P2

Beugung am Spalt  Ausbreitung in den “geometrischen Schatten” Wichtig für Hindernisse mit Abmessungen vgl. Festumzüge: was hört man als erstes ?

Beugungsmuster im Unendlichen Beugungsmuster bei Streuung am Spalt Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung Ebene Welle λ d α d α λ/2 d/2 

Poissonscher Fleck (1818)

V.4.8 Schallwellen  Ausbreitung von Störungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern Demo: Klingel unter Vakuumglocke SW 2.12 Unterscheidung nach Frequenzbereichen: Hörbarer Bereich 16 – 20000 Hz 20 kHz – 10 MHz Ultraschall 10 MHz – Hyperschall Demo: Tongenerator SW 2.20 Schallwelle ?

! Woher weiß man, dass Schall sich als Welle verhält ? Falls Schall Welleneigenschaft besitzt, müssen typische Wellenphänomene beobachtbar sein z.B.: Beugung, Interferenz,… Beispiel: Stehende Welle in einem Rohr Lautsprecher geschlossenes Ende Gas / 2 Pulver Kundt’sches Rohr SW 2.10 Schallbauch Schallknoten

Alternatives Experiment: Rubens’sches Flammrohr Was schwingt? Löcher SW 2.11 Gas gefülltes Rohr  Flammen unterschiedlich hoch nach Einschalten des Lautsprechers  Druckschwankungen als Folge einer stehenden Welle

Schallwelle in Luft longitudinale Druckwelle v(x) v(x+dx) p(x) p(x+dx) Fläche A dx Newtonsche Bewegungsgleichung:  reicht noch nicht aus, man braucht noch “Zustandsgleichung” (r  p), vgl. Diskussion Navier-Stokes Gleichung

z z Schall in Festkörpern zt zt Elastische Longitudinalwelle Elastische Rückstellkräfte  Wellen Elastische Longitudinalwelle z zt Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit zt z Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E Schallgeschwindigkeit

? Doppler-Effekt (C. Doppler 1803-1853) Wie ändert sich die gehörte Frequenz falls Beobachter oder Quelle bewegt ist a) Bewegte Quelle bewegte Quelle ruhende Quelle

b) Bewegter Empfänger / Beobachter Doppler-Effekt b) Bewegter Empfänger / Beobachter Beobachter Quelle ruhende Quelle

Machscher Kegel (E. Mach 1836 – 1916) Betrachte nochmal bewegte Quelle:  Ergebnis divergiert für Es bildet sich eine gemeinsame Wellenfront aus:  Wellenfront mit großer Amplitude (Kopf-,Stoß-,Schockwelle)  starke Verdichtung der Luft “Schallmauer”

M bezeichnet man als Machzahl Machscher Kegel ? Was passiert bei a M bezeichnet man als Machzahl

Machscher Kegel - Anwendungen Überschallknall Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit