Abituraufgabe 2008 Geometrie

voneinander linear unabhängig sind. Aufgabe 1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Punkte A (1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) sowie (1-t/8/t) mit t IR\{9} als Parameter. a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. Die Punkte A, B und D bestimmen eine Ebene, da die Richtungsvektoren AB und AD voneinander linear unabhängig sind.

b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu Einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnitt- punkt M dieses Quadrats. D C 1. Bedingung: . A B 2. Bedingung: 90° Winkel bei α α=90°  Durch einen vierten Punkt C, lässt sich ein Quadrat ABCD aufspannen. C (3/4/-5)

Bei t= -1 ist der Abstand zwischen St und M am kleinsten. c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von St zu M minimal? Extremwertaufgabe Aufstellen von Verbindungsvektor StM Länge von StM Minima der Gleichung, die unter der Wurzel steht ist der Wert für t, bei dem der Abstand StM am kleinsten ist  ist Minima Bei t= -1 ist der Abstand zwischen St und M am kleinsten.

Für t=-3 und t=-21 beträgt das Volumen des Parallelflachs 144. Aufgabe 2 Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DSt] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach. a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat. St D C A B Für t=-3 und t=-21 beträgt das Volumen des Parallelflachs 144.

. b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelfach ein Quader ist. In Teilaufgabe 1.b) wurde schon bewiesen, dass ABCD ein Quadrat aufspannen. Zz: St . D C A B Für t=0 wird das Parallelflach so aufgespannt, sodass ein Quader entsteht.

Lot schneidet Ebene E im Punkt U(-3/5/5). Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S1 festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F: 2x1-x3+1=0. c) Im Punkt T(1/5/3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt. Lot l errichten, mit Fußpunkt T; Normalenvektor von F als Richtungsvektor Lotgerade in E einsetzen, um U zu erhalten Zz: Punkt U liegt nicht im Quadrat ABCD l in E: U liegt außerhalb des Quadrats. Lot schneidet Ebene E im Punkt U(-3/5/5).

Die zwei Ebenen E und F schneiden sich im Winkel von 63,4° . d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F. Die zwei Ebenen E und F schneiden sich im Winkel von 63,4° .

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt.

Zentrische Streckung

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt. r = 3 D c K . M A B K‘ . r‘ = 6 M‘

Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/0/11). K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt. M(2/3/-1) Streckungszentrum: A A(1/2/3) . . A . Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/0/11).

. . . . r = 3 D c P M A B K‘ r‘ = 6 M‘ P‘ Länge von MM‘ Radius von K und K‘ aufsummieren r‘ = 6 M‘ . P‘

Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/-0/11). K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radios r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K‘ abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M‘ von K‘ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P‘ haben können, wenn P auf K und P‘ auf K‘ liegt. M(2/3/-1) Streckungszentrum: A A(1/2/3) r = 3 r‘ = 6 Abstand zwischen den Mittelpunkten Bestimmen: Der Mittelpunkt von K‘ liegt bei M‘(-1/-0/11). Abstand zwischen P und P‘ bestimmen: