statistische Maßzahlen Arten Mittelwerte Modus Median(Zentralwert) Quantile Zweck Kennzeichnung einer Menge von Objekten durch den typischen Wert Vergleich von 2 Mengen (z.B. 2 Stichproben) Verschiedene Verfahren bei ungruppierten Daten..................... gruppierten Daten................................. klassierten Daten...........................................................

Maßzahlen bei Listen: babyleicht Beispiel: Zensuren 1,1,2,2,3,3,3 Mittelwert (arithmetisch) alle Merkmalsausprägungen werden addiert, dann wird durch die Gesamtzahl geteilt hier =2,142857 Modus häufigster Wert hier :3 Zentralwert die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer hier: 2

Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln Beispiel: Zensuren 1,1,2,2,3,3,3 arithmetischer Mittelwert Zentralwert die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer hier: Modus häufigster Wert, hier :Mo=3

Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln Beispiel: Zensuren 1,1,2,2,3,3,3,4 arithmetischer Mittelwert Zentralwert die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer hier: Modus häufigster Wert, hier :Mo=3

arithmetischer Mittelwert Ausprägung 1 2 3 4 5 6 7 Häufigkeit N=7 einfaches arithmetisches Mittel x=4=28/7 Ausprägung 1 4 7 Häufigkeit N=6 einfaches arithmetisches Mittel x=3=18/6

arithmetischer Mittelwert für Schulkinder(1) Ausprägung 1 4 7 absolute Häufigkeit einfaches arithmetisches Mittel Ausprägung 1 4 7 absolute Häufigkeit 3 2 gewogenes arithmetisches Mittel

arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle) Merkmal absolute Häufigkeit Produkt 1 3 1*3=3 4 2 4*2=8 7 7*1=7 Summe 18 :6 = 3 = arithmet. Mittelwert

arithmetisches Mittel für Schulkinder(2) Beispiel: Altersangabe Alter absolute Häufigkeit 20 2 30 3 40 1 50 4 arithmetischer Mittelwert berechnet mit absoluter Häufigkeit Bei der obigen Formel spricht man auch vom „gewogenen arithmetischen Mittel“

arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle) Alter absolute Häufigkeit Produkt 20 2 40 30 3 90 1 50 4 200 Summe 370 :10 = 37

arithmetisches Mittel mit relativen Häufigkeiten arithmetischer Mittelwert berechnet („gewogen“) mit relativer Häufigkeit Alter absolute Häufig- relative keit Produkt 20 2 0,2 4 30 3 0,3 9 40 1 0,1 50 0,4 37 =37

2 Weisen, den gewogenen Mittelwert zu berechnen x absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 1 3 0,5 4 2 0,333 7 0,1616 beide Formeln sind gleichwertig gewogenes arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten gewogenes arithmetisches Mittel mit relativer Häufigkeit

Arten der Mittelwert berechnung Einfache Liste einfacher Mittelwert 2,2,2,4,4,6 Tabelle mit Häufigkeiten gewogener Mittelwert Zeilen nummer Merkmals- ausprägun g Häufigkeit I x n 1 2 3 4 6

Gewogener Mittelwert(alternatives Vorgehen) Zeilen nummer Merkmals- ausprägun g Häufigkeit Gewogene Merkmale I x n x*n 1 2 3 2*3=6 4 4*2=8 6 6*1=6 Summe 20 Mittelwert x =20/6 =3,333333

Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten Tabelle mit Häufigkeiten Zeile Merkmals- ausprägung Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit I X h f 1 2 3 0,5 4 0,33333 6 0,1666667 =0,5*2+0,33333*4+0,166667*6 =3,333333

Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten (Alternatives Vorgehen) Tabelle mit Häufigkeiten Zeile Merkmals- ausprägung Absolute Häufigkeit Relative Häufigkei t Produkt I X h f f*h 1 2 3 0,5 0,5*2=1 4 1/3 (1/3)*4=1,33333 6 1/6 (1/6)*6=1 Summ 3,333333 =3,3333=Mittelwert

geometrischer Mittelwert(1) Klasse 2 4 8 abs. Häufigkeit 1 geometrisches Mittel =4-te Wurzel aus dem Produkt(2*4*4*8) =4 geometrisches Mittel N Pxi Anwendung: bei Wachstumsprozessen

geometrischer Mittelwert(2) Anwendungsfelder: Bevölkerungswachstum, Verzinsung von Kapital, Wachstum in Únternehmen und Volkswirtschaften Anwendungsbeispiel Ein Unternehmen hat Erfolg. Im ersten Jahr verdoppeln sich die Umsätze gegenüber dem Ausgangsjahr. im nächsten Jahr vervierfachen sie sich im Vergleich mit dem Jahr davor. im nächsten Jahr ebenso. im Jahr darauf sind die umsätze 8 mal so hoch , wie im 3. Jahr. Wenn man jetzt ein Maß braucht, um wieviel die Umsätze durchschnittlich in jedem Jahr gewachsen sind, dann nimmt man das geometrische Mittel der Werte 2,4,4,8.

geometrischer Mittelwert(3) Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Umsätze 1000 3000 4500 1687,5 5062,5 Wachstumsfaktor 3 1,5 0,375 abs. Häufigkeit 1 geometrisches Mittel =4-te Wurzel aus dem Produkt(3* 1,5 *0,375*3) =1,5 =durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr geometrisches Mittel N Pxi

geometrischer Mittelwert(4) Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Umsätze 1000 1100 1210 1452 1306,8 Wachstumsfaktor 1,1 1,2 0,9 abs. Häufigkeit 1 geometrisches Mittel =4-te Wurzel aus dem Produkt(1,1*1,1*1,2*0,9) =1,07 =durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr geometrisches Mittel N Pxi