§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V -grad p∆V rg∆V Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie WS 2014/15

Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten! Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie

Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt. Dort hat es die Geschwindigkeit => Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern! Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort Andere Geschwindigkeit am neuen Ort => In Komponentenschreibweise: ux uy uz dito für y und z  Gaub

für stationäre Strömungen = 0 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten für stationäre Strömungen = 0 mit Konvektionsbeschleunigung Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung Navier-Stokes Gleichung Gaub WS 2014/15

Kontinuitätsgleichung Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse dM / dt = r A1 ux1 = r A2 ux2 = const => ux1 / ux2 = A2 / A1 Def: Massenflussdichte In V sei die Masse Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S Gauss (Bronstein)

Bernoulli-Gleichung Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1 ∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2 dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant! p1 ∆V1 + ½ r u12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ r u22 ∆V2 da ∆V1 = ∆V2 = ∆V => p1 + ½ r u12 = p2 + ½ r u22 Bernoulli- Gleichung => p + ½ r u2 = p0 = const Statischer Druck Staudruck Gesamtdruck (bei u = 0) Gaub

Bernoulli-Gleichung Gaub

Bernoulli-Gleichung Gaub

Laminare Strömung Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wird Bsp.: Blut in den Adern  Wasserleitungen Experiment: z x F,v Viskose Schubspannung Viskose Reibung d  = Viskosität = dynamische Zähigkeit thermisch aktivierte Hüpfprozesse Gaub WS 2014/15

Abschätzung der Randschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium x L F,u0 D u(x) Platte der Fläche A wird um ihre Länge L in viskoser Flüssigkeit verschoben Dazu benötigte Arbeit: Dabei mitgeführte Flüssigkeit: Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert Gaub

Beliebige Strömung in z-Richtung mit uz(x0+dx) Taylor-Entwicklung linearisiert uz (x0+dx) z x uz (x0) uz (x0-dx) dx dV = dx dy dz x0 Allgemein: Laplace- Operator:

Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten +d -d x z z1 z1+dz p(z+dz) p(z) Druckdifferenz treibt Fluss: p = p(z) dz dx dy Druckkräfte: Gaub WS 2014/15

Reibungskraft = Druckkraft Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Randbedingungen des Experiments: Symmetrie keine Strömung an den Plattenrändern Gaub WS 2014/15

Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr analog zu vorherigem Beispiel: Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung r + dr dA L r mit u(R) = 0 durch Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke dr fließt pro Zeiteinheit: Fluß durch gesamten Zylinder: Gaub WS 2014/15

Viskose Reibung einer Kugel : (Herleitung Oseen) Hagen-Poiseuille-Gesetz Viskose Reibung einer Kugel : (Herleitung Oseen) Stokessches Gesetz Experiment Kugellfall => Gaub WS 2014/15

Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz Mittlere Geschwindigkeit Charakteristische Länge Wichtig für Ähnlichkeitstransformation. Modell halber Grösse verhält sich in Medium halber Viskosität gleich Turbulenz typisch in Wasser: laminare Strömung Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar Problem Micro Fluidics: http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath Durchmischung nur durch Diffusion möglich x0 ~ 1 μm/sec Gaub WS 2014/15

Life at Low Reynolds Numbers: ”Swimming in molasses, walking in a hurricane“ Reynolds number: Thermal noise power: Dean Astumian Pth ≈ thermal relaxation time kBT R =  d v  ≈ 10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3 10-3 kg/ms e.g. bacterium ≈ 10-11 W 10-10 s 4*10-21 J ≈ Pmech ≈ 10-12-10-17 W! Compare to power of motors: R = 10-5 => No turbulences! See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39

See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU Intracellular Traffic over Long Distances Axon See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU Melanocyte Gaub WS 2014/15