2. Die Anfänge

6. Jahrhundert v. Chr. Revolution des Geistes Thales von Milet 624 - 545 Pythagoras 570 - 500 Lao Tse 604 - 534 Konfuzius 551 - 479 Siddhartha Gautama (Buddha) 560 - 480

Griechische Aufklärung Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis)  Gedankenfreiheit Seefahrendes Volk, Verbindung zwischen Asien und Europa Keine privilegierte Priesterkaste, die neue Ideen bekämpft Neuer Gedanke: Die Welt kann verstanden werden!

maqemata: Lehrgegenstände Arithmetik Geometrie Astronomie Musik Noch im Mittelalter: Quadrivium

Thales von Milet (624 - 545) Kaufmann aus phönizischem Geschlecht, reich durch Spekulation mit Olivenöl. Nach seinen Angaben soll für einen Fluß ein neues Bett gegraben worden sein. Aufenthalt in Ägypten, brachte den Griechen von dort die Geometrie. Höhenmessung (Pyramide): Messung der Schattenlänge, zu der Zeit, wo er der Körpergröße gleich ist. Messung zu beliebiger Zeit  Strahlensatz Abstandsmessung von Schiffen  Strahlensatz

Weitere Thales bekannte Sätze: Gleichheit der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks Gleichheit der Scheitelwinkel beim Schnitt zweier Geraden Bestimmtheit eines Dreiecks durch eine Seite und die anliegenden Winkel Kreisfläche wird vom Durchmesser halbiert Summe der Winkel im Dreieck = 2 rechte Winkel Höhenmessung einer Pyramide Vorhersage der Sonnenfinsternis vom 28. 5. 585 Thales von Milet (624 - 545)

Mutter: Parthenis (= Jungfrau) wurde vom Sonnengott Apollon geschwängert und von da ab zu dessen Ehren Pythais genannt Pythagoras (570 - 500) = Mund des Apollon Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

Eudemos Schüler des Aristoteles schrieb das erste Mathematikerverzeichnis: Pythagoras war der erste Mathematiker. Satz und Beweis! Pythagoras (570 - 500) Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

Pythagoras (570 - 500 Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden Marmorbüste 4. Jhdt v. Chr. Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden "Schule" (Geheimbund) Erkennungszeichen: Reguläres Fünfeck Grundsatz: Alles ist Zahl Pythagoras wurde nicht beim Namen genannt: "jener Mann" "Er hat es selbst gesagt" beendete jede Debatte Äußerste Verschwiegenheit gegenüber Außenstehenden

Pythagoras (570 - 500 Aufnahme-Interview dreijährige Probezeit Marmorbüste 4. Jhdt v. Chr. Aufnahme-Interview dreijährige Probezeit Novizen mußten fünfjähriges Schweigen geloben vorwiegend Mitglieder der herrschenden Klasse wahrscheinlich keine Frauen zugelassen, da in Griechenland stets ohne wiss. Ausbildung. Auch nicht zu Gymnasien und Olympischen oder Delischen Spielen zugelassen.

Raphael: Schule von Athen (Ausschnitt) Vegetarier (glaubte an Seelenwanderung) Keine direkte Überlieferung Keine hinterlassenen Schriften Kein Grabmal Alles ist Zahl 2, 3, 4,... und Proportion Raphael: Schule von Athen (Ausschnitt)

Alle Dinge verdanken ihre Existenz den Zahlen Die Elemente der Zahlen und der Dinge sind gleich Dinge sind nach Zahlen aus den Elementen zusammengesetzt (z.B. Knochen = 3 Teile Feuer + 2 Teile Erde) Beispiel pythagoräischer Zuordnungen: günstige Gelegenheit = 7 Gerechtigkeit = 2*2 = 4 1 ist keine Zahl, sondern das Element aller Zahlen. 1 macht gerade ungerade und ungerade gerade.

Gnomon = Erkenner (Diagnose, Agnostiker) Ursprünglich senkrechter Stab: Stundenzeiger, Schattenwerfer später allgemein für: rechter Winkel später: später alles, was eine Figur in eine ihr ähnlich überführt Anlegen von Gnomonen = Addition der ungeraden Zahlen ergibt die Quadratzahlen: 1,4,9,...

n2 + {2n + 1} = (n + 1)2 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2

Addition der ungeraden Zahlen ergibt Quadrate Addition der geraden Zahlen ergibt Heteromeken  Unterscheidung von Gerade und Ungerade Kenntnis von arithmetischen Reihen Saitenlängenverhältnis, Oktave 2:1,Quinte 3:2, Quarte 4:3

Addition der natürlichen Zahlen ergibt die Dreieckszahlen: 1,3,6,10,15,21,...

Dreieckszahlen, z.B. wichtig in der modernen Physik: n(n+1) 10 = D selbst ein Dreieck, Zahl der Finger Tetraktys besitzt 4 Stufen heilige Zahl, vierte Dreieckszahl  Gerechtigkeit 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Der pytagoreische. Eid enthielt die Worte: … durch ihn, der uns die Tetraktys hernieder brachte ...

Erzeugung des rechten Winkels wurde mindestens 1000 Jahre vorher angewandt. Ägypten: Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4, 5 gibt rechten Winkel. Indien: Dreieck mit den Seitenlängen 5,12,13 gibt rechten Winkel. Aber: Pythagoras behauptete seinen Satz für jedes rechtwinklige Dreieck.

Zwei benachbarte Quadratzahlen unterscheiden sich um eine ungerade Zahl. 1 , 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ... + 25 + ... + 49 + ... + 81 + ... Alle ungeraden Zahlen kommen als Differenz vor. Da es unendlich viele ungerade Quadratzahlen gibt, unterscheiden sich unendlich viele Quadratzahlen um eine ungerade Quadratzahl. 32 + 42 = 52 daraus findet man gerade Tripel: (32)2 + (42)2 = (52)2

Erzeugung pythagoräischer Tripel nach Pythagoras für ungerade a a = 2n + 1 3 5 7 b = 2n2 + 2n 4 12 24 c = b + 1 5 13 25 a2 = 4n2 + 4n + 1 = 2b + 1 c2 = b2 + 2b + 1 und Vielfache davon: 6 15 8 20 10 25

Erzeugung pythagoräischer Tripel nach Platon für gerade a a = 2n b = n2 - 1 c = n2 + 1 = b + 2 a2 = 4n2 b2 = n4 - 2n2 + 1 c2 = n4 + 2n2 + 1 4 6 8 3 8 15 5 10 17

Sehet ! c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2 a b c

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

Die Grenze ist das Wesen des Gegenstandes, folglich die Fläche mehr als der Körper, die Linie mehr als die Fläche, der Punkt mehr als die Linie. Die Fläche kann ohne Körper, der Körper aber nicht ohne Oberfläche sein. Konstruktion der 5 regelmäßigen Körper (kosmischen Körper) Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder 12 Pentagone 20 Dreiecke

Würfel = geometrische Harmonie 6 Seiten, 8 Ecken, 12 Kanten stetiges harmonisches Verhältnis: 1/6 - 1/8 = 1/8 - 1/12 harmonisches Mittel: 1/a - 1/b = 1/b - 1/c  b = 2/(1/a + 1/c) arithmetisches Mittel: a - b = b - c  b = (a+c)/2 geometrisches Mittel: a/b = b/c  b = ac Mittlere Proportionale: pq p/h = h/q  pq = h2 (ähnliche Dreiecke)

Sonne nur ein Abglanz des Gegenfeuers unsichtbar unter/hinter der Erde. Erde = Kugel (bei Mondfinsternis kreisförmiger Schatten, Seefahrervolk) Erde nur einseitig bewohnbar Erdkugel umkreist in 24 Stunden das Zentralfeuer. Gebundene Rotation. Gegenerde? Weil Mondfinsternis bei sichtbarer Sonne beobachtet? Weil 10 heilig? Gegenerde immer in Konjunktion oder Opposition zur Erde, nie sichtbar. Pythagoras konnte die Harmonien der 10 Sphären hören.

Hippokrates von Chios Kaufmann, verlor ca. 440 sein Vermögen lernte bei Pythagoräern Mathematik, lehrte sie dann gegen Bezahlung in Athen verfaßte das erste Rechenbuch. Führte die Buchstabenbezeichnung ein: GD = Strecke von G bis D

Hippasos von Metapont Pentagondodekaeder in Kugel einbeschrieben Zahlenverhältnisse der Grundkonsonanzen Erste Erkenntnis des Irrationalen (ca. 450 v. Chr.) gegen jede Gepflogenheit veröffentlicht. Eine stark umstrittene Persönlichkeit!

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 Hippasos von Metapont Entdeckung der Irrationalität am gleichschenkligen Dreieck 2a2 = c2 oder am Goldenen Schnitt. c p D p 2a2 = c2  2 = = = a q D q Inkommensurabilität von Seite und Diagonale: Es gibt keinen noch so kleinen gemeinsamen Maßstab D!

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2   2 = p/q, teilerfremd 2 = p2/q2 2q2 = p2 p2 gerade  p gerade  p = 2z  p2 = 4z2 2q2 = 4z2 q2 = 2z2 q2 gerade  q gerade  p,q nicht teilerfremd 

Möndchen des Hippokrates großer Halbkreis: H = kc2 kleiner Halbkreis: h = ka2 = kc2/2 Fläche beider kleinen Halbkreise 2h = H  was außen überschießt, muss innen fehlen Fläche der Möndchen (meniskoz) = halbe Quadratfläche = a2/2

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 Euklid (325 - 275) Elemente, Buch 10: Lehre von den Inkommensurablen Die Summe zweier Inkommesurablen ist zu den Summanden inkommensurabel (Bsp: 1 + 2). Irrationale Zahlen: alogos = unaussprechlich Nach Platon (427 - 348) besaß Theodoros von Kyrene Irrationalitätsbeweise für die nicht ganzen Wurzeln aller Zahlen bis 17. Dessen Schüler Theaitetos (410 - 368) bewies dies für alle natürlichen Zahlen. Frühe Behandlung des Irrationalen durch Eudoxos (408 - 355), Erfinder des Exhaustionsverfahrens.

Stetige Teilung a/b = b/(a-b)  f > 0 f = 1/(f - 1)  f - 1 = 1/f = (1 + 5)/2 = 1,618...    f2 = 1 + f  f = 1 + 1/f

Parthenon f - 1 = 0,618... 5/8 = 0,625

Stetige Teilung Johannes Campanus von Novarra (1220 -1296) Kaplan von Papst Urban IV. (1261-1264) Kanonikus in Paris, Euklid-Übersetzer Irrationalitätsbeweis für die stetige Teilung durch descente infinie Seien x1, x2   erzeuge durch Multiplikation mit dem Hauptnenner n1, n2   (n1 + n2)/n1 = n1/n2 mit n2 < n1 1 + n2/n1 = n1/n2 n1/n2 = n2/(n1 - n2) (n1 - n2)  n3   mit n3 < n2 < n1 (n2 + n3)/n2 = n2/n3 usw. ad infinitum

Stetige Teilung auch am Pentagon

Stetige Teilung auch am Pentagon!

Stetige Teilung auch am Pentagon! f = d/s = s/(d-s) = s/d´ = d´/s´ = s´/(d´-s´) = s´/d´´ = ...