Die Numerische Differentiation Wirtschaftsmathematik 5. Semester Kuzmenko Anna WiSe2010/2011 Die Numerische Differentiation

Gliederung Definition Einführung Ansätze Test Taylorreihenentwicklung Wann ist das nötig? Ansätze Taylorreihenentwicklung Satz von Taylor Beispiel Ableitungen höhere Ordnung Test

Definition: Numerische Differentiation Entwicklung eines Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung der Ableitungen einer Funktion an der Stelle x

Wann ist das nötig? Die Funktion selbst ist nur indirekt (z.B. nur über einige Messwerte) gegeben und daher unmöglich zu differenzieren Die direkte Berechnung der Ableitung wäre sehr kompliziert, weil beispielsweise die Funktion sehr kompliziert ist

Ansätze Taylorreihenentwicklung Interpolation mit Polynomen Interpolation mit Splines

Satz von Taylor Um ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Ableitung einer Funktion an der Stelle x zu entwickeln, greift man auf den Satz von Taylor zurück. Voraussetzungen : In dieser Darstellung wurde das Restglied der Taylorreihe verwendet. Die Darstellung gilt hier nur dann, wenn die vierte Ableitung von f(x) existiert und im Intervall[x;x+h] beschränkt ist (d.h. die Funktion ist ausreichend glatt). Dann heißt die Reihe: mit x ≤ ξ ≤ x+h die Taylorreihe von f

Taylorreihenentwicklung LANDAU- Symbol: O(h) Da der Ausdruck 1/n! immer kleiner wird und die Ableitungen der Funktion mit zunehmender Höhe der Ableitung i.d.R. nicht wesentlich größer ausfallen (falls die Funktion ausreichend glatt ist), lässt sich das Restglied der Taylorreihe zusammenfassen:

Taylorreihenentwicklung Aus diesen allgemeinen Formeln entwickeln sich zwei Differentiationsformeln: 1. Vorwärtsdifferentiationsformel die Ableitung kann also berechnet werden, wenn man die Funktions- werte an den Stellen x und x+h bzw. x-h kennt 2. Rückwärtsdifferentiationsformel (entwickelt sich analog zu der obigen Formel, nur dass der Entwicklungspunkt nicht x+h, sondern x-h ist) http://www.math.tu-berlin.de/ppm/skripte/fdm2.0-2auf1.pdf

Taylorreihenentwicklung Eine andere Idee: Anstelle von zwei Differentiationsformeln den Mittelwert als Näherung verwenden Zentraler Differenzenquotient: Die Ableitung der Funktion an der Stelle x lässt sich also bestimmen, wenn man die Funktionswerte an den Stellen x + h und x – h kennt. Wie man zu der Formel kommt, wird an der Tafel ausführlich vorgeführt!

Taylorreihenentwicklung Graphische Veranschaulichung: Bild ist aus dem Skript von Frau Schumann

Taylorreihenentwicklung Und nun ein Beispiel: → Sei x = 1 Gesucht ist also die Ableitung der Funktion f an der Stelle x = 1 a) Nach direkter Berechnung gilt:

Taylorreihenentwicklung b) Nach Vorwärtsdifferentiationsformel: Es sei h=0,1 → relativer Fehler = 5,171%

Taylorreihenentwicklung c) Nach Rückwärtsdifferentiationsformel: Es sei h=0,1 → relativer Fehler = 4,837%

Taylorreihenentwicklung d) Nach Direkter Differentiation: Es sei x-x₀=0,1 → relativer Fehler = 0,1668%

Taylorreihenentwicklung x=1 Vorwärtsdifferentiation Rückwärtsdifferentiation Direkte Dif-ferentiation Direkte Berechnung h=0,1 2,85884195 2,58678717 2,72281456 2,718281… h=0,01 2,73191865 2,70473561 2,71832713 h=0,001 2,71964142 2,71692314 2,71828228 h=0,0001 2,7184177 2,718146 2,71828185 h=0,000001 2,71828 h=10^-8 2,718 2,719 2,7185 h=10^-10 2,7 2,8 2.75

Taylorreihenentwicklung Wir sehen an diesem Beispiel, dass Vorwärts- und Rückwärts- differenzen etwa dieselbe Genauigkeit haben, während der zentrale Differenzenquotient genauer ist, obwohl der Rechenauf- wand nicht höher ist. Eine weitere Erkenntnis ist, dass eine beliebige Verkleinerung von h ab einem bestimmten Punkt (abhängig vom Taschenrechner) zu keiner Verbesserung mehr führt, sondern im Gegenteil zu einer Verschlechterung des Ergebnisses. Schuld ist der Rundungsfehler!

höhere Ableitungen Um weitere Ableitungen höherer Ordnung approximativ berechnen zu können, lässt sich das folgende Schema verwänden: Dividierte Differenzen Schema (für Vorwärtsdifferenz) x f(x) x+h f(x+h) x+2h f(x+2h)

höhere Ableitungen Insgesamt ergibt sich für die Berechnung der Ableitungen: erste Ableitung= *1! zweite Ableitung= *2! Das Schema lässt sich beliebig fortsetzen, solange die Funktion in dem Intervall überhaupt differenzierbar ist.

Test Aufgaben Aufgabe für Anfänger mit Schritt für Schritt Lösung Aufgabe für Fortgeschrittene mit Lösung Ende

Aufgabe für Anfänger Es sei f(x) = sin(x) Berechne die Ableitung der Funktion an der Stelle x= 1 mit der Hilfe der Direkten Differentiation und der beiden Differentiationsformeln. Es sei h = 0,01 Mache die Probe mit der richtigen Ableitung und berechne den relativen Fehler der Vorwärtsdifferentiation.

Lösung der Aufgabe Schritt 1: Berechne f(x=1) ; f(x+h=1+0,01) und f(x-h=1-0,01) → f(1)=0,8415 ; f(1,01)=0,8468 ; f(0,99)=0,8360 Schritt 2: Vorwärtsdifferetiation:

Lösung der Aufgabe Schritt 3: Rückwärtsdifferentiation: Schritt 4: Direkte Differentiation:

Lösung der Aufgabe Schritt 5: Probe: Relativer Fehler:

Aufgabe für Fortgeschrittene Berechne die erste, zweite und dritte Ableitung an der Stelle x=1 für die Funktion f(x)=x³+4x²-6x+20 mit Hilfe des Dividier- te Differenzen Schemas h=0,01und mache die Probe. x f(x) 1 19 1,01 19,050701 1,02 19,102808 1,03 19,156327

Lösung der Aufgabe für Fortgeschrittene x f(x) 1 19 1,01 19,050701 1,02 19,102808 1,03 19,156327

Lösung der Aufgabe für Fortgeschrittene Erste Ableitung: Zweite Ableitung: Dritte Ableitung: Probe:

Quellenverzeichnis http://www.math.tu-berlin.de/ppm/skripte/fdm2.0-2auf1.pdf http://www.f4.fhtw-berlin.de/people/petra/ http://www.physikerboard.de/topic,9714,-naeherungen-in-der-physik---die-taylorreihe.html http://www.unibw.de/bauv1/lehre/Ingenieurmathematik/Skriptum/getFILE?fid=1985668&tid=Skriptum Neunzert, Eschmann, Blickensdörfer-Ehlers, Schelkes Analysis I 3. Auflage